Задача №16000

а) Заданное уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{rl}& \sin 2x=\sqrt{3}\cos x,\\ & \sqrt{3}\cos x>0.\end{array}$$

Используя формулу синуса двойного угла, преобразуем первое уравнение:

$$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0$$ $$\cos x(2\sin x-\sqrt{3})=0$$

Поскольку по условию ограничений $\cos x>0\text{,}$ то $\cos x\ne 0\text{.}$ Следовательно, выражение в скобках равно нулю:

$$2\sin x-\sqrt{3}=0$$ $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

С учётом ограничения $\cos x>0$ (что соответствует I координатной четверти), получаем единственную серию решений:

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]\text{,}$ с помощью двойного неравенства:

$$-3\pi \le \frac{\pi }{3}+2\pi k\le -\frac{3\pi }{2}$$

Разделим все части неравенства на $\pi \text{:}$

$$-3\le \frac{1}{3}+2k\le -\frac{3}{2}$$

Вычтем из всех частей $\frac{1}{3}\text{:}$

$$-\frac{10}{3}\le 2k\le -\frac{11}{6}$$

Разделим на $2\text{:}$

$$-\frac{5}{3}\le k\le -\frac{11}{12}$$ $$-1\frac{2}{3}\le k\le -\frac{11}{12}$$

Так как $k\in \mathbb{Z}\text{,}$ единственное подходящее целое значение — это $k=-1\text{.}$
Найдём соответствующий корень:

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi (-1)=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$$

(Отбор также подтверждается тригонометрической окружностью, представленной на рисунке: отмечена заданная дуга и единственная точка на ней, соответствующая корню $-\frac{5\pi }{3}$).