а) Решите уравнение _3(sin 2x) = _3(sqrt(3)cos x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi;-(3pi)/(2)].
а) Заданное уравнение равносильно системе: aligned &sin 2x = sqrt(3)cos x, &sqrt(3)cos x > 0. aligned . Используя формулу синуса двойного угла, преобразуем первое уравнение: 2sin x cos x - sqrt(3)cos x = 0 cos x (2sin x - sqrt(3)) = 0 Поскольку по условию ограничений cos x > 0, то cos x != 0. Следовательно, выражение в скобках равно нулю: 2sin x - sqrt(3) = 0 sin x = (sqrt(3))/(2) С учётом ограничения cos x > 0 (что соответствует I координатной четверти), получаем единственную серию решений: x = (pi)/(3) + 2pi k,k in Z б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [-3pi;-(3pi)/(2)], с помощью двойного неравенства: -3pi <= (pi)/(3) + 2pi k <= -(3pi)/(2) Разделим все части неравенства на pi: -3 <= (1)/(3) + 2k <= -(3)/(2) Вычтем из всех частей (1)/(3): -(10)/(3) <= 2k <= -(11)/(6) Разделим на 2: -(5)/(3) <= k <= -(11)/(12) -1(2)/(3) <= k <= -(11)/(12) Так как k in Z, единственное подходящее целое значение — это k = -1. Найдём соответствующий корень: x = (pi)/(3) + 2pi(-1) = (pi)/(3) - 2pi = -(5pi)/(3) *(Отбор также подтверждается тригонометрической окружностью, представленной на рисунке: отмечена заданная дуга и единственная точка на ней, соответствующая корню -(5pi)/(3)).*
а) \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}\) б) \(-\dfrac{5\pi}{3}\)