В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка K -- середина ребра B_1C_1. Плоскость alpha проходит через точки B, K и D. а) Докажите, что сечение куба плоскостью alpha является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки C до плоскости alpha, если ребро куба равно 6.
а) Так как плоскости оснований куба ABCD и A_1B_1C_1D_1 параллельны, то секущая плоскость alpha пересекает плоскость верхнего основания по прямой KP , параллельной BD (где P — точка пересечения плоскости с ребром C_1D_1 ). Поскольку K — середина ребра B_1C_1 , а KP B_1D_1 (так как BD B_1D_1 ), точка P является серединой ребра C_1D_1 . Отрезки BK и DP не параллельны (так как BD != KP ), следовательно, сечение BKPD — трапеция. Прямоугольные треугольники BB_1K и DD_1P равны по двум катетам ( BB_1=DD_1 как рёбра куба, B_1K=D_1P как половины рёбер куба). Из равенства треугольников следует, что BK = DP . Таким образом, сечение BKPD — равнобедренная трапеция. б) В плоскости BB_1C_1C продлим прямую BK до пересечения с прямой CC_1 в точке S . Прямоугольные треугольники BB_1K и SC_1K равны по катету и острому углу ( B_1K = KC_1 , B_1KB = C_1KS как вертикальные). Следовательно, SC_1 = BB_1 = 6 . Точка S лежит на прямой CC_1 , причём C_1 — середина отрезка CS . Расстояние от точки C до плоскости alpha в 2 раза больше расстояния от точки C_1 до плоскости alpha , так как CS = 2 * C_1S , а перпендикуляры из C и C_1 на плоскость alpha параллельны. Найдём расстояние от C_1 до плоскости alpha . В плоскости A_1B_1C_1D_1 проведём диагональ A_1C_1 , которая пересекает KP в точке E . Так как KP B_1D_1 , треугольник KC_1P подобен B_1C_1D_1 с коэффициентом (1)/(2) . Высота C_1E треугольника KC_1P равна половине высоты B_1C_1D_1 , проведённой к гипотенузе. То есть C_1E = (1)/(4) A_1C_1 = (6sqrt(2))/(4) = (3sqrt(2))/(2) . Прямая KP перпендикулярна C_1E и SC_1 , следовательно, KP (SC_1E) . Значит, плоскость (SC_1E) перпендикулярна плоскости alpha . Проведём высоту C_1H в прямоугольном треугольнике SC_1E . Эта высота является расстоянием от C_1 до alpha . По теореме Пифагора для SC_1E : SE = sqrt(SC_1^2 + C_1E^2) = sqrt(6^2 + ((32)/(2))^2) = sqrt(36 + (18)/(4)) = sqrt(40,5) = (9sqrt(2))/(2) Тогда высота C_1H : C_1H = (SC_1 * C_1E)/(SE) = (6 * 3sqrt(2)2)/(9sqrt(2)2) = (18sqrt(2))/(9sqrt(2)) = 2 Искомое расстояние от точки C равно 2 * C_1H = 2 * 2 = 4 . **Второй способ для пункта б (метод координат):** Введём прямоугольную систему координат с началом в точке C . Оси x, y, z направим вдоль рёбер CD, CB, CC_1 соответственно. Координаты вершин: C(0;0;0) , D(6;0;0) , B(0;6;0) , B_1(0;6;6) . Точка K — середина B_1C_1 , значит её координаты K(0;3;6) . Уравнение плоскости alpha , проходящей через точки B(0;6;0) , D(6;0;0) , имеет вид (x)/(6) + (y)/(6) + (z)/(c) = 1 . Подставим координаты точки K(0;3;6) : (0)/(6) + (3)/(6) + (6)/(c) = 1 => (1)/(2) + (6)/(c) = 1 => (6)/(c) = (1)/(2) => c = 12 Уравнение плоскости alpha : (x)/(6) + (y)/(6) + (z)/(12) = 1 , или 2x + 2y + z - 12 = 0 . Расстояние от точки C(0;0;0) до плоскости alpha находим по формуле расстояния от точки до плоскости: d = (|2 * 0 + 2 * 0 + 1 * 0 - 12|)/(sqrt(2^2 + 2^2 + 1^2)) = (12)/(sqrt(9)) = (12)/(3) = 4
б) 4