Задача №15998

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точка $K$ — середина ребра $B_1{C}_1\text{.}$ Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B\text{,}$ $K$ и $D\text{.}$

а) Докажите, что сечение куба плоскостью $\alpha$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha \text{,}$ если ребро куба равно 6.

а) Так как плоскости оснований куба $ABCD$ и $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ параллельны, то секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость верхнего основания по прямой $KP\text{,}$ параллельной $BD$ (где $P$ — точка пересечения плоскости с ребром $C_1{D}_1$).
Поскольку $K$ — середина ребра $B_1{C}_1\text{,}$ а $KP\parallel B_1{D}_1$ (так как $BD\parallel B_1{D}_1$), точка $P$ является серединой ребра $C_1{D}_1\text{.}$
Отрезки $BK$ и $DP$ не параллельны (так как $BD\ne KP$), следовательно, сечение $BKPD$ — трапеция.
Прямоугольные треугольники $B{B}_{1}K$ и $D{D}_{1}P$ равны по двум катетам ($B{B}_1=D{D}_1$ как рёбра куба, $B_{1}K=D_{1}P$ как половины рёбер куба). Из равенства треугольников следует, что $BK=DP\text{.}$
Таким образом, сечение $BKPD$ — равнобедренная трапеция.

б) В плоскости $B{B}_1{C}_{1}C$ продлим прямую $BK$ до пересечения с прямой $C{C}_1$ в точке $S\text{.}$
Прямоугольные треугольники $B{B}_{1}K$ и $S{C}_{1}K$ равны по катету и острому углу ($B_{1}K=K{C}_1\text{,}$ $\angle B_{1}KB=\angle C_{1}KS$ как вертикальные).
Следовательно, $S{C}_1=B{B}_1=6\text{.}$
Точка $S$ лежит на прямой $C{C}_1\text{,}$ причём $C_1$ — середина отрезка $CS\text{.}$
Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ в 2 раза больше расстояния от точки $C_1$ до плоскости $\alpha \text{,}$ так как $CS=2\cdot C_{1}S\text{,}$ а перпендикуляры из $C$ и $C_1$ на плоскость $\alpha$ параллельны.
Найдём расстояние от $C_1$ до плоскости $\alpha \text{.}$
В плоскости $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ проведём диагональ $A_1{C}_1\text{,}$ которая пересекает $KP$ в точке $E\text{.}$
Так как $KP\parallel B_1{D}_1\text{,}$ треугольник $K{C}_{1}P$ подобен $B_1{C}_1{D}_1$ с коэффициентом $\frac{1}{2}\text{.}$
Высота $C_{1}E$ треугольника $K{C}_{1}P$ равна половине высоты $B_1{C}_1{D}_1\text{,}$ проведённой к гипотенузе. То есть $C_{1}E=\frac{1}{4}{A}_1{C}_1=\frac{6\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{.}$
Прямая $KP$ перпендикулярна $C_{1}E$ и $S{C}_1\text{,}$ следовательно, $KP\perp (S{C}_{1}E)\text{.}$ Значит, плоскость $(S{C}_{1}E)$ перпендикулярна плоскости $\alpha \text{.}$
Проведём высоту $C_{1}H$ в прямоугольном треугольнике $S{C}_{1}E\text{.}$ Эта высота является расстоянием от $C_1$ до $\alpha \text{.}$
По теореме Пифагора для $△S{C}_{1}E\text{:}$

$$SE=\sqrt{S{C}_1^2+C_1{E}^2}=\sqrt{6^2+{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{36+\frac{18}{4}}=\sqrt{40,5}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$$

Тогда высота $C_{1}H\text{:}$

$$C_{1}H=\frac{S{C}_1\cdot C_{1}E}{SE}=\frac{6\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}=\frac{18\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=2$$

Искомое расстояние от точки $C$ равно $2\cdot C_{1}H=2\cdot 2=4\text{.}$

Второй способ для пункта б (метод координат):
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $C\text{.}$ Оси $x,y,z$ направим вдоль рёбер $CD,CB,C{C}_1$ соответственно.
Координаты вершин: $C(0;0;0)\text{,}$ $D(6;0;0)\text{,}$ $B(0;6;0)\text{,}$ $B_1(0;6;6)\text{.}$
Точка $K$ — середина $B_1{C}_1\text{,}$ значит её координаты $K(0;3;6)\text{.}$
Уравнение плоскости $\alpha \text{,}$ проходящей через точки $B(0;6;0)\text{,}$ $D(6;0;0)\text{,}$ имеет вид $\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{c}=1\text{.}$
Подставим координаты точки $K(0;3;6)\text{:}$

$$\frac{0}{6}+\frac{3}{6}+\frac{6}{c}=1\Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{6}{c}=1\Rightarrow \frac{6}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow c=12$$

Уравнение плоскости $\alpha \text{:}$ $\frac{x}{6}+\frac{y}{6}+\frac{z}{12}=1\text{,}$ или $2x+2y+z-12=0\text{.}$
Расстояние от точки $C(0;0;0)$ до плоскости $\alpha$ находим по формуле расстояния от точки до плоскости:

$$d=\frac{|2\cdot 0+2\cdot 0+1\cdot 0-12|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{12}{\sqrt{9}}=\frac{12}{3}=4$$