Задача №15997

а) Заданное уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}\sin 2x=\sqrt{2}\cos x\\ \sqrt{2}\cos x>0\end{array}$$

Поскольку $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{,}$ первое уравнение системы принимает вид:

$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$ $$\cos x(2\sin x-\sqrt{2})=0$$

Так как из второго условия системы следует, что $\cos x>0\text{,}$ мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x\text{,}$ получив:

$$2\sin x-\sqrt{2}=0$$ $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Корни этого уравнения: $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ и $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Проверим выполнение условия $\cos x>0\text{:}$

• Для серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ $\cos \left(\frac{\pi }{4}+2\pi k\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ — удовлетворяет условию.
• Для серии $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ $\cos \left(\frac{3\pi }{4}+2\pi k\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$ — не удовлетворяет условию.

Таким образом, решением уравнения является только серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Произведём отбор корней на отрезке $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ с помощью двойного неравенства:

$$-\pi \le \frac{\pi }{4}+2\pi k\le \frac{\pi }{2}$$

Разделим на $\pi \text{:}$

$$-1\le \frac{1}{4}+2k\le \frac{1}{2}$$

Вычтем $\frac{1}{4}\text{:}$

$$-1-\frac{1}{4}\le 2k\le \frac{1}{2}-\frac{1}{4}$$ $$-\frac{5}{4}\le 2k\le \frac{1}{4}$$

Разделим на 2:

$$-\frac{5}{8}\le k\le \frac{1}{8}$$

Так как $k$ — целое число, единственное возможное значение $k=0\text{.}$

При $k=0$ получаем корень: $x=\frac{\pi }{4}\text{.}$ Этот корень принадлежит заданному отрезку.