а) Решите уравнение _2(sin 2x) = _2(sqrt(2)cos x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-pi;(pi)/(2)].
а) Заданное уравнение равносильно системе: cases sin 2x = sqrt(2)cos x sqrt(2)cos x > 0 cases Поскольку sin 2x = 2sin xcos x, первое уравнение системы принимает вид: 2sin xcos x - sqrt(2)cos x = 0 cos x (2sin x - sqrt(2)) = 0 Так как из второго условия системы следует, что cos x > 0, мы можем разделить обе части уравнения на cos x, получив: 2sin x - sqrt(2) = 0 sin x = (sqrt(2))/(2) Корни этого уравнения: x = (pi)/(4) + 2pi k и x = (3pi)/(4) + 2pi k , где k in Z . Проверим выполнение условия cos x > 0: - Для серии x = (pi)/(4) + 2pi k : cos((pi)/(4) + 2pi k) = (sqrt(2))/(2) > 0 — удовлетворяет условию. - Для серии x = (3pi)/(4) + 2pi k : cos((3pi)/(4) + 2pi k) = -(sqrt(2))/(2) < 0 — не удовлетворяет условию. Таким образом, решением уравнения является только серия x = (pi)/(4) + 2pi k , где k in Z . б) Произведём отбор корней на отрезке [-pi;(pi)/(2)] с помощью двойного неравенства: -pi <= (pi)/(4) + 2pi k <= (pi)/(2) Разделим на pi: -1 <= (1)/(4) + 2k <= (1)/(2) Вычтем (1)/(4): -1 - (1)/(4) <= 2k <= (1)/(2) - (1)/(4) -(5)/(4) <= 2k <= (1)/(4) Разделим на 2: -(5)/(8) <= k <= (1)/(8) Так как k — целое число, единственное возможное значение k = 0 . При k = 0 получаем корень: x = (pi)/(4) . Этот корень принадлежит заданному отрезку.
а) \( \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, \, k \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{\pi}{4} \)