Задача №15996

а) Воспользуемся формулой синуса разности:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)$$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$${\cos }^{2}x+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)\right)}^2=\frac{1}{2}$$

Раскроем скобки:

$${\cos }^{2}x+\frac{1}{2}({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)=\frac{1}{2}$$

Умножим обе части уравнения на $2\text{:}$

$$2{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1$$

Применим основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{:}$

$$2{\cos }^{2}x+1-2\sin x\cos x=1$$ $$2{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=0$$ $$2\cos x(\cos x-\sin x)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
2) $\cos x-\sin x=0\text{.}$ Поскольку $\cos x=0$ не является решением этого уравнения (так как тогда и $\sin x=0\text{,}$ что невозможно), разделим обе части на $\cos x\text{:}$

[
1 - \operatorname{tg} x = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow
x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n, ; n \in \mathbb{Z} ).

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[5\pi ;6\pi ]\text{,}$ с помощью тригонометрической окружности.
Заданному отрезку соответствует нижняя полуокружность (от $5\pi$ до $6\pi$). Отметим найденные серии корней на окружности:

• Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ заданному отрезку принадлежит корень $x=5\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{11\pi }{2}\text{.}$
• Из серии $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ заданному отрезку принадлежит корень $x=5\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{21\pi }{4}\text{.}$