а) Решите уравнение cos^2 x + sin^2(x - (pi)/(4)) = (1)/(2). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5pi;6pi].
а) Воспользуемся формулой синуса разности: sin(x - (pi)/(4)) = sin x cos (pi)/(4) - cos x sin (pi)/(4) = (sqrt(2))/(2)(sin x - cos x) Тогда исходное уравнение примет вид: cos^2 x + ((sqrt(2))/(2)(sin x - cos x))^2 = (1)/(2) Раскроем скобки: cos^2 x + (1)/(2)(sin^2 x - 2sin x cos x + cos^2 x) = (1)/(2) Умножим обе части уравнения на 2 : 2cos^2 x + sin^2 x - 2sin x cos x + cos^2 x = 1 Применим основное тригонометрическое тождество sin^2 x + cos^2 x = 1 : 2cos^2 x + 1 - 2sin x cos x = 1 2cos^2 x - 2sin x cos x = 0 2cos x (cos x - sin x) = 0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) cos x = 0 => x = (pi)/(2) + pi k, k in Z . 2) cos x - sin x = 0 . Поскольку cos x = 0 не является решением этого уравнения (так как тогда и sin x = 0 , что невозможно), разделим обе части на cos x : [ 1 - tg x = 0 => tg x = 1 => x = (pi)/(4) + pi n, n in Z ). б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [5pi;6pi] , с помощью тригонометрической окружности. Заданному отрезку соответствует нижняя полуокружность (от 5pi до 6pi ). Отметим найденные серии корней на окружности: - Из серии x = (pi)/(2) + pi k заданному отрезку принадлежит корень x = 5pi + (pi)/(2) = (11pi)/(2) . - Из серии x = (pi)/(4) + pi n заданному отрезку принадлежит корень x = 5pi + (pi)/(4) = (21pi)/(4) .
а) \( \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \; \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{21\pi}{4}, \; \dfrac{11\pi}{2} \)