В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N -- середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3. а) Докажите, что AN = 2KM. б) Пусть P -- точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключённого внутри треугольника KMN, если AB = 6, BC = 8.
а) В прямоугольном треугольнике ABC (с прямым углом B, так как катеты — это AB и BC) точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC, откуда MN AB и MN = (AB)/(2). Так как AB BC, то и MN BC, то есть ABN = MNK = 90^. Пусть BC = 4x. По условию BK : KC = 1 : 3, поэтому BK = x и KC = 3x. Поскольку N — середина BC, то BN = NC = 2x. Тогда KN = BN - BK = 2x - x = x. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABN и MNK. Имеем ABN = MNK = 90^. Отношения катетов: (AB)/(MN) = 2 и (BN)/(KN) = (2x)/(x) = 2. Следовательно, ABN MNK по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Из подобия следует равенство отношений гипотенуз: (AN)/(KM) = 2, откуда AN = 2KM. Что и требовалось доказать. б) По условию AB = 6, BC = 8. Тогда BN = (BC)/(2) = 4, BK = (BC)/(4) = 2. Отсюда KN = 2. Средняя линия MN = (AB)/(2) = 3. Пусть прямая KM пересекает прямую AB в точке H. Так как AB MN, то HBK = MNK = 90^, а углы при вершине K равны как вертикальные. Значит, HBK MNK. Поскольку BK = KN = 2, коэффициент подобия равен 1, то есть треугольники равны. Отсюда HB = MN = 3. Точка A лежит на прямой AB по одну сторону от B, а точка H — по другую (так как K лежит между B и N). Поэтому AH = AB + HB = 6 + 3 = 9. Рассмотрим треугольники HAP и MNP. Поскольку AH MN, эти треугольники подобны. Коэффициент подобия равен (AH)/(MN) = (9)/(3) = 3. Следовательно, (AP)/(PN) = 3, то есть точка P делит отрезок AN в отношении 3 : 1, считая от вершины A. Опустим из точки P перпендикуляр PL на катет BC. Так как AB BC, то PL AB. По теореме Фалеса для угла ANB получаем, что (NL)/(LB) = (NP)/(PA) = (1)/(3). Поскольку BN = 4, находим NL = 1 и BL = 3. Также из подобия NLP и NBA имеем (PL)/(AB) = (NP)/(NA) = (1)/(4). Так как AB = 6, находим PL = (6)/(4) = (3)/(2). В прямоугольном треугольнике PLB по теореме Пифагора: BP = sqrt(BL^2 + PL^2) = sqrt(3^2 + ((3)/(2))^2) = sqrt(9 + (9)/(4)) = sqrt((45)/(4)) = (3sqrt(5))/(2) Отрезок прямой BP, заключённый внутри треугольника KMN, — это отрезок PR, где R — точка пересечения луча BP и отрезка MN (точка P лежит на стороне KM). Так как AB MN, то ABP RNP (по двум углам). Коэффициент их подобия равен (AP)/(PN) = 3. Заметим, что (RN)/(AB) = (1)/(3), откуда RN = 2. Поскольку MN = 3, точка R действительно лежит на отрезке MN. Из подобия также следует, что (BP)/(PR) = 3, откуда: PR = (BP)/(3) = (3sqrt(5))/(2 * 3) = (sqrt(5))/(2)
б) \( \dfrac{\sqrt{5}}{2} \)