Задача №15994

а) Построим сечение правильной треугольной призмы плоскостью $\alpha \text{.}$ Точки $A$ и $K$ лежат в грани $AB{B}_1{A}_1\text{,}$ точки $A$ и $C$ — в грани $ABC\text{,}$ поэтому мы можем провести прямые $AK$ и $AC\text{.}$ Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, $\alpha$ пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной $AC\text{.}$ Пусть $\alpha$ пересекает ребро $B_1{C}_1$ в точке $P\text{.}$ Тогда $KP\parallel AC\text{.}$ Так как $A_1{C}_1\parallel AC\text{,}$ то $KP\parallel A_1{C}_1\text{,}$ и по теореме Фалеса $P$ — середина $B_1{C}_1\text{.}$

Так как $A{A}_1=C{C}_1$ и $A_{1}K=C_{1}P\text{,}$ по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках $A{A}_{1}K$ и $C{C}_{1}P$ получаем $AK=CP\text{.}$ При этом $KP=\frac{A_1{C}_1}{2}=\frac{AC}{2}\ne AC\text{.}$ Значит $AKPC$ — равнобедренная трапеция.

б) Все ребра призмы равны 4. Продлим отрезки $CP$ и $AK$ до пересечения с продолжением ребра $B{B}_1$ в точке $S\text{.}$ По подобию $△CSB\sim △PS{B}_1$ (так как $P{B}_1\parallel CB$) получаем $\frac{S{B}_1}{SB}=\frac{1}{2}\text{,}$ значит $S{B}_1=B{B}_1=4\text{,}$ $SB=8\text{.}$

В $△ABC$ опустим высоту $BE\text{.}$ Высота правильного треугольника со стороной 4: $BE=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{.}$ Так как $SB\perp (ABC)\text{,}$ то $SB\perp AC\text{.}$ Также $BE\perp AC\text{.}$ Следовательно, $AC\perp (SEB)\text{.}$

В $△SBE$ опустим высоту $BH\text{.}$ Получаем $BH\perp AC$ и $BH\perp SE\text{,}$ значит $BH\perp \alpha \text{.}$

По теореме Пифагора: $S{E}^2=S{B}^2+B{E}^2=64+12=76\text{,}$ $SE=2\sqrt{19}\text{.}$

Расстояние: $BH=\frac{SB\cdot BE}{SE}=\frac{8\cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{19}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{8\sqrt{57}}{19}\text{.}$