В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 точка K -- середина ребра A_1B_1. Плоскость alpha проходит через точки A, K и C. а) Докажите, что сечением призмы плоскостью alpha является равнобедренная трапеция. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 4.
а) Построим сечение правильной треугольной призмы плоскостью alpha. Точки A и K лежат в грани ABB_1A_1, точки A и C -- в грани ABC, поэтому мы можем провести прямые AK и AC. Так как верхняя и нижняя грани лежат в параллельных плоскостях, alpha пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной AC. Пусть alpha пересекает ребро B_1C_1 в точке P. Тогда KP AC. Так как A_1C_1 AC, то KP A_1C_1, и по теореме Фалеса P -- середина B_1C_1. Так как AA_1 = CC_1 и A_1K = C_1P, по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках AA_1K и CC_1P получаем AK = CP. При этом KP = (A_1C_1)/(2) = (AC)/(2) != AC. Значит AKPC -- равнобедренная трапеция. б) Все ребра призмы равны 4. Продлим отрезки CP и AK до пересечения с продолжением ребра BB_1 в точке S. По подобию CSB PSB_1 (так как PB_1 CB) получаем (SB_1)/(SB) = (1)/(2), значит SB_1 = BB_1 = 4, SB = 8. В ABC опустим высоту BE. Высота правильного треугольника со стороной 4: BE = (4sqrt(3))/(2) = 2sqrt(3). Так как SB (ABC), то SB AC. Также BE AC. Следовательно, AC (SEB). В SBE опустим высоту BH. Получаем BH AC и BH SE, значит BH alpha. По теореме Пифагора: SE^2 = SB^2 + BE^2 = 64 + 12 = 76, SE = 2sqrt(19). Расстояние: BH = (SB * BE)/(SE) = (8 * 2sqrt(3))/(2sqrt(19)) = (8sqrt(3))/(sqrt(19)) = (8sqrt(57))/(19).
б) \(\dfrac{8\sqrt{57}}{19}\)