Задача №15993

а) Раскроем косинус суммы по формуле:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)$$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$${\sin }^{2}x+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)\right)}^2=\frac{1}{2}$$ $${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}({\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x)=\frac{1}{2}$$

Умножим обе части уравнения на $2\text{:}$

$$2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x=1$$

Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\text{,}$ получаем:

$$2{\sin }^{2}x+1-2\sin x\cos x=1$$ $$2{\sin }^{2}x-2\sin x\cos x=0$$ $$2\sin x(\sin x-\cos x)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $\sin x=0\text{,}$ откуда $x=\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

2) $\sin x-\cos x=0\text{.}$ Разделим обе части на $\cos x\ne 0\text{:}$

$$\mathrm{tg}x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{13\pi }{2};\frac{15\pi }{2}\right]\text{,}$ с помощью двойных неравенств.

Для серии $x=\pi k\text{:}$

$$\frac{13\pi }{2}\le \pi k\le \frac{15\pi }{2}$$ $$6,5\le k\le 7,5$$

Поскольку $k\in \mathbb{Z}\text{,}$ то $k=7\text{.}$ При $k=7$ получаем корень $x=7\pi \text{.}$

Для серии $x=\frac{\pi }{4}+\pi n\text{:}$

$$\frac{13\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+\pi n\le \frac{15\pi }{2}$$ $$\frac{26}{4}\le \frac{1}{4}+n\le \frac{30}{4}$$ $$\frac{25}{4}\le n\le \frac{29}{4}$$ $$6,25\le n\le 7,25$$

Поскольку $n\in \mathbb{Z}\text{,}$ то $n=7\text{.}$ При $n=7$ получаем корень $x=\frac{\pi }{4}+7\pi =\frac{29\pi }{4}\text{.}$

(Также отбор можно произвести с помощью тригонометрической окружности, отметив дугу от $\frac{13\pi }{2}$ до $\frac{15\pi }{2}$ и соответствующие точки на ней, как показано на приложенном рисунке).В тексте решения для ЕГЭ это пояснение в скобках можно не писать, достаточно оставить либо только окружность, либо только неравенства.