а) Решите уравнение sin^2 x + cos^2(x + (pi)/(4)) = (1)/(2). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(13pi)/(2);(15pi)/(2)].
а) Раскроем косинус суммы по формуле: cos(x + (pi)/(4)) = cos x cos(pi)/(4) - sin x sin(pi)/(4) = (sqrt(2))/(2)(cos x - sin x) Подставим полученное выражение в исходное уравнение: sin^2 x + ((sqrt(2))/(2)(cos x - sin x))^2 = (1)/(2) sin^2 x + (1)/(2)(cos^2 x - 2sin x cos x + sin^2 x) = (1)/(2) Умножим обе части уравнения на 2 : 2sin^2 x + cos^2 x - 2sin x cos x + sin^2 x = 1 Используя основное тригонометрическое тождество sin^2 x + cos^2 x = 1 , получаем: 2sin^2 x + 1 - 2sin x cos x = 1 2sin^2 x - 2sin x cos x = 0 2sin x(sin x - cos x) = 0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) sin x = 0 , откуда x = pi k , k in Z . 2) sin x - cos x = 0 . Разделим обе части на cos x != 0 : tg x = 1 => x = (pi)/(4) + pi n, n in Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [(13pi)/(2);(15pi)/(2)] , с помощью двойных неравенств. Для серии x = pi k : (13pi)/(2) <= pi k <= (15pi)/(2) 6,5 <= k <= 7,5 Поскольку k in Z , то k = 7 . При k = 7 получаем корень x = 7pi . Для серии x = (pi)/(4) + pi n : (13pi)/(2) <= (pi)/(4) + pi n <= (15pi)/(2) (26)/(4) <= (1)/(4) + n <= (30)/(4) (25)/(4) <= n <= (29)/(4) 6,25 <= n <= 7,25 Поскольку n in Z , то n = 7 . При n = 7 получаем корень x = (pi)/(4) + 7pi = (29pi)/(4) . *(Также отбор можно произвести с помощью тригонометрической окружности, отметив дугу от (13pi)/(2) до (15pi)/(2) и соответствующие точки на ней, как показано на приложенном рисунке).*_В тексте решения для ЕГЭ это пояснение в скобках можно не писать, достаточно оставить либо только окружность, либо только неравенства_.
а) \( \pi k \), \( \dfrac{\pi}{4} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \) б) \( 7\pi \), \( \dfrac{29\pi}{4} \)