Задача №15988

Найдите значение выражения $\sqrt{22+12\sqrt{2}}-\sqrt{22-12\sqrt{2}}\text{.}$

Выделим полные квадраты под корнями. Для выражения $22\pm 12\sqrt{2}$ ищем $(a\pm b{)}^2=a^2+b^2\pm 2ab\text{.}$

Подберём $a$ и $b$ так, чтобы $a^2+b^2=22\text{.}$ Пусть $a=3\sqrt{2}$ и $b=2\text{.}$ Проверим:

Тогда исходное выражение принимает вид:

Извлечём корни, используя свойство $\sqrt{x^2}=|x|\text{:}$

Так как $3\sqrt{2}=\sqrt{18}\text{,}$ а $2=\sqrt{4}\text{,}$ то $3\sqrt{2}>2\text{,}$ следовательно, оба подмодульных выражения положительны.

Раскроем модули:

Ответ: 4