В окружность с центром в точке K вписан треугольник ABC . Длина высоты CH , проведённой к стороне AB , составляет 8 , стороны AC и BC равны 12 и 20 соответственно. Найдите радиус окружности.

Задача №15985: Простейшая планиметрия

Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

1. Через основание и высоту:

S = \frac{1}{2} c \cdot h_{c},

где $c = A B,$ $h_{c} = C H = 8 .$

2. Через три стороны и радиус описанной окружности:

S = \frac{ab c}{4 R},

где $a = B C = 20,$ $b = A C = 12 .$

Приравниваем выражения для площади:

\frac{1}{2} c \cdot h_{c} = \frac{ab c}{4 R} .

Сократим обе части на $c :$

\frac{h _{c}}{2} = \frac{ab}{4 R} \Rightarrow R = \frac{ab}{2 h _{c}} .

Подставим значения:

R = \frac{12 \cdot 20}{2 \cdot 8} = \frac{240}{16} = 15.

Ответ: 15.