Задача №15982

В марте 2026 года Аркадий взял рыночный ипотечный кредит на 48 миллионов рублей сроком на 5 лет. Условия возврата:

1. В январе каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
2. С февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
3. В июле 2027, 2028 и 2029 годов (первые три года) долг должен быть на одну и ту же величину $X$ млн рублей меньше долга на июль предыдущего года.
4. В 2030 и 2031 годах Аркадий платит равными платежами (аннуитет), чтобы к июлю 2031 года долг был полностью погашен.

Найдите величину $X\text{,}$ на которую Аркадий сокращал основной долг первые три года, если общая сумма всех выплат по кредиту составила 95 млн рублей.

Пусть $S=48$ млн рублей, повышающий коэффициент $k=1,25=\frac{5}{4}\text{.}$

Первые три года долг уменьшается равномерно, остатки на июль составляют:
$48\text{;}$ $48-X\text{;}$ $48-2X\text{;}$ $48-3X\text{.}$

Выплаты (тело долга плюс начисленные проценты):
$P_1=X+0,25\cdot 48\text{;}$
$P_2=X+0,25(48-X)\text{;}$
$P_3=X+0,25(48-2X)\text{.}$

Сумма выплат за первые три года:

$${\Sigma }_{1-3}=3X+36-0,75X=2,25X+36=\frac{9}{4}X+36.$$

Остаток долга на июль 2029 года составит $S_3=48-3X\text{.}$ В последние два года производятся два равных платежа $P\text{.}$ Согласно математической модели аннуитета:

$$(S_3\cdot k-P)k-P=0\Rightarrow S_3\cdot k^2=P(k+1)\Rightarrow P=S_3\cdot \frac{k^2}{k+1}.$$

Подставим $k=\frac{5}{4}\text{:}$

$$P=S_3\cdot \frac{25}{16}\cdot \frac{4}{9}=S_3\cdot \frac{25}{36}.$$

Сумма выплат за последние два года:

$${\Sigma }_{4,5}=2P=(48-3X)\cdot \frac{25}{18}.$$

Общая сумма всех выплат по условию равна 95 млн рублей:

$$\frac{9}{4}X+36+(48-3X)\cdot \frac{25}{18}=95\Rightarrow \frac{9}{4}X+(48-3X)\cdot \frac{25}{18}=59.$$

Умножим обе части уравнения на 36:

$$81X+50(48-3X)=2124\Rightarrow 81X+2400-150X=2124\Rightarrow 69X=276\Rightarrow X=4.$$

Ответ: 4.