В марте 2026 года Аркадий взял рыночный ипотечный кредит на 48 миллионов рублей сроком на 5 лет. Условия возврата: 1. В январе каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года. 2. С февраля по июнь необходимо выплатить часть долга. 3. В июле 2027, 2028 и 2029 годов (первые три года) долг должен быть на одну и ту же величину X млн рублей меньше долга на июль предыдущего года. 4. В 2030 и 2031 годах Аркадий платит равными платежами (аннуитет), чтобы к июлю 2031 года долг был полностью погашен. Найдите величину X , на которую Аркадий сокращал основной долг первые три года, если общая сумма всех выплат по кредиту составила 95 млн рублей.
Пусть S = 48 млн рублей, повышающий коэффициент k = 1,25 = (5)/(4) . Первые три года долг уменьшается равномерно, остатки на июль составляют: 48 ; 48 - X ; 48 - 2X ; 48 - 3X . Выплаты (тело долга плюс начисленные проценты): P_1 = X + 0,25 * 48 ; P_2 = X + 0,25(48 - X) ; P_3 = X + 0,25(48 - 2X) . Сумма выплат за первые три года: _(1-3) = 3X + 36 - 0,75X = 2,25X + 36 = (9)/(4)X + 36. Остаток долга на июль 2029 года составит S_3 = 48 - 3X . В последние два года производятся два равных платежа P . Согласно математической модели аннуитета: (S_3 * k - P)k - P = 0 => S_3 * k^2 = P(k + 1) => P = S_3 * (k^2)/(k + 1). Подставим k = (5)/(4) : P = S_3 * (25)/(16) * (4)/(9) = S_3 * (25)/(36). Сумма выплат за последние два года: _(4,5) = 2P = (48 - 3X) * (25)/(18). Общая сумма всех выплат по условию равна 95 млн рублей: (9)/(4)X + 36 + (48 - 3X) * (25)/(18) = 95 => (9)/(4)X + (48 - 3X) * (25)/(18) = 59. Умножим обе части уравнения на 36: 81X + 50(48 - 3X) = 2124 => 81X + 2400 - 150X = 2124 => 69X = 276 => X = 4. Ответ: 4.
4