Задача №15981

Дана функция $y=a\cos (x-b)+c\text{,}$ где $a,b,c$ — действительные числа ($a>0$). Известно, что график функции проходит через максимум в точке $\left(\frac{5\pi }{6};13\right)\text{,}$ а серединная линия (ось симметрии графика) проходит на уровне $y=6\text{.}$ Найдите значение функции в точке $x=\frac{7\pi }{3}\text{.}$

Сдвиг по оси $y$ задаётся коэффициентом $c\text{,}$ поэтому $c=6\text{.}$

Амплитуда колебаний:

Максимум косинусоиды достигается, когда аргумент равен нулю (с учётом периода). Так как максимум в точке $x=\frac{5\pi }{6}\text{,}$ то сдвиг фазы $b=\frac{5\pi }{6}\text{.}$

Уравнение функции принимает вид:
$y=7\cos \left(x-\frac{5\pi }{6}\right)+6\text{.}$

Подставим $x=\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}\text{:}$

Так как $\cos \left(\frac{3\pi }{2}\right)=0\text{,}$ получаем:

Ответ: 6