Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения: cases (2x - 2y + 1)/(x^2 + y^2 - 1) = 1, y = ax + a + 1. cases
Первое уравнение системы равносильно уравнению: 2x - 2y + 1 = x^2 + y^2 - 1 при условии x^2 + y^2 != 1. Преобразуем его, выделяя полные квадраты: x^2 - 2x + y^2 + 2y - 2 = 0 => (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4. Это уравнение задаёт окружность с центром в точке O(1; -1) и радиусом R = 2 . Выколотые точки лежат на пересечении этой окружности с окружностью x^2 + y^2 = 1 . Найдём их координаты, приравняв части уравнений: 2x - 2y + 1 = 0 => y = x + 0,5. Подставив в x^2 + y^2 = 1 , получаем координаты точек: M((-1 - sqrt(7))/(4); (1 - sqrt(7))/(4)) и N((-1 + sqrt(7))/(4); (1 + sqrt(7))/(4)) . Второе уравнение y = a(x + 1) + 1 задаёт пучок прямых, проходящих через точку P(-1; 1) . Проверим положение точки P относительно окружности. Расстояние от P до центра O(1; -1) равно: PO = sqrt((1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2) = sqrt(2^2 + (-2)^2) = sqrt(8) > 2. Следовательно, точка P находится снаружи окружности. Из точки P к окружности можно провести две касательные: 1. Горизонтальная касательная y = 1 , что соответствует a = 0 . 2. Вертикальная касательная x = -1 (не описывается уравнением вида y = ax + a + 1 ). Прямая пучка пересекает окружность в двух точках (является секущей), если её угловой коэффициент a < 0 . Из этого интервала необходимо исключить значения, при которых прямая проходит через выколотые точки M и N . Найдём угловые коэффициенты для этих точек по формуле a = (y - 1)/(x + 1) : a_M = (1 - sqrt(7) - 4)/(-1 - sqrt(7) + 4) = (-3 - sqrt(7))/(3 - sqrt(7)) = -8 - 3sqrt(7); a_N = (1 + sqrt(7) - 4)/(-1 + sqrt(7) + 4) = (-3 + sqrt(7))/(3 + sqrt(7)) = -8 + 3sqrt(7). Так как оба значения a_M и a_N меньше нуля, они попадают в рассматриваемый промежуток. Ответ: (-inf; -8 - 3sqrt(7)) U (-8 - 3sqrt(7); -8 + 3sqrt(7)) U (-8 + 3sqrt(7); 0)
\( (-\infty; -8-3\sqrt{7}) \cup (-8-3\sqrt{7}; -8+3\sqrt{7}) \cup (-8+3\sqrt{7}; 0) \)