Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения:
⎩⎨⎧x2+y2−12x−2y+1=1,y=ax+a+1.Первое уравнение системы равносильно уравнению:
2x−2y+1=x2+y2−1при условииx2+y2=1.Преобразуем его, выделяя полные квадраты:
x2−2x+y2+2y−2=0⇒(x−1)2+(y+1)2=4.Это уравнение задаёт окружность с центром в точке O(1;−1) и радиусом R=2. Выколотые точки лежат на пересечении этой окружности с окружностью x2+y2=1. Найдём их координаты, приравняв части уравнений:
2x−2y+1=0⇒y=x+0,5.Подставив в x2+y2=1, получаем координаты точек:
M(4−1−7;41−7) и N(4−1+7;41+7).
Второе уравнение y=a(x+1)+1 задаёт пучок прямых, проходящих через точку P(−1;1). Проверим положение точки P относительно окружности. Расстояние от P до центра O(1;−1) равно:
PO=(1−(−1))2+(−1−1)2=22+(−2)2=8>2.Следовательно, точка P находится снаружи окружности.
Из точки P к окружности можно провести две касательные:
1. Горизонтальная касательная y=1, что соответствует a=0.
2. Вертикальная касательная x=−1 (не описывается уравнением вида y=ax+a+1).
Прямая пучка пересекает окружность в двух точках (является секущей), если её угловой коэффициент a<0. Из этого интервала необходимо исключить значения, при которых прямая проходит через выколотые точки M и N.
Найдём угловые коэффициенты для этих точек по формуле a=x+1y−1:
aM=−1−7+41−7−4=3−7−3−7=−8−37; aN=−1+7+41+7−4=3+7−3+7=−8+37.Так как оба значения aM и aN меньше нуля, они попадают в рассматриваемый промежуток.
Ответ: (−∞;−8−37)∪(−8−37;−8+37)∪(−8+37;0)
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
sdamex
sdamex