В прямую призму ABCDA_1B_1C_1D_1 , основанием которой является ромб ABCD , вписана сфера. а) Докажите, что плоскость сечения, проходящего через рёбра BC и A_1D_1 , составляет с плоскостью основания угол 45^ . б) Найдите площадь этого сечения, если известно, что сторона основания призмы равна 8 , а острый угол ромба равен 30^ .
а) Так как сфера вписана в прямую призму, она касается обоих её оснований и всех боковых граней. Расстояние между основаниями равно высоте призмы AA_1 , и оно равно диаметру сферы d . Сфера касается всех боковых граней призмы, следовательно, в основание призмы (ромб) можно вписать окружность, диаметр которой также равен d . Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте AH . Отсюда следует, что высота призмы равна высоте ромба: AA_1 = AH . Плоскость сечения проходит через параллельные прямые BC и A_1D_1 (так как в прямой призме A_1D_1 AD BC ). Проведём в основании высоту AH BC . Поскольку призма прямая, её боковое ребро перпендикулярно основанию: AA_1 (ABC) , а значит, AA_1 BC . Отрезок A_1H — наклонная, а AH — её проекция на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах A_1H BC . Таким образом, A_1HA — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения (A_1BC) и плоскостью основания. В прямоугольном треугольнике A_1AH катеты равны ( AA_1 = AH ), поэтому он является равнобедренным. Следовательно, A_1HA = 45^ . Что и требовалось доказать. б) Сечение призмы плоскостью, проходящей через BC и A_1D_1 , представляет собой параллелограмм BCD_1A_1 (так как BC A_1D_1 и BC = A_1D_1 ). Отрезок A_1H перпендикулярен стороне BC (доказано в пункте «а»), значит, он является высотой этого параллелограмма. Площадь сечения равна S = BC * A_1H . Найдём высоту ромба AH . Площадь ромба можно выразить двумя способами: S_(ромба) = AB^2 * sin 30^ = 8^2 * 0,5 = 32. С другой стороны: S_(ромба) = BC * AH = 8 * AH. Отсюда: 8 * AH = 32 => AH = 4. Из прямоугольного равнобедренного треугольника A_1AH по теореме Пифагора находим гипотенузу A_1H : A_1H = AH * sqrt(2) = 4sqrt(2). Найдём площадь сечения: S = BC * A_1H = 8 * 4sqrt(2) = 32sqrt(2). Ответ: а) доказано б) 32sqrt(2)
б) \( 32\sqrt{2} \)