Задача №15979

В прямую призму $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{,}$ основанием которой является ромб $ABCD\text{,}$ вписана сфера.
а) Докажите, что плоскость сечения, проходящего через рёбра $BC$ и $A_1{D}_1\text{,}$ составляет с плоскостью основания угол $45^{\circ }\text{.}$
б) Найдите площадь этого сечения, если известно, что сторона основания призмы равна $8\text{,}$ а острый угол ромба равен $30^{\circ }\text{.}$

а) Так как сфера вписана в прямую призму, она касается обоих её оснований и всех боковых граней.

Расстояние между основаниями равно высоте призмы $A{A}_1\text{,}$ и оно равно диаметру сферы $d\text{.}$ Сфера касается всех боковых граней призмы, следовательно, в основание призмы (ромб) можно вписать окружность, диаметр которой также равен $d\text{.}$ Диаметр вписанной в ромб окружности равен его высоте $AH\text{.}$ Отсюда следует, что высота призмы равна высоте ромба: $A{A}_1=AH\text{.}$

Плоскость сечения проходит через параллельные прямые $BC$ и $A_1{D}_1$ (так как в прямой призме $A_1{D}_1\parallel AD\parallel BC$). Проведём в основании высоту $AH\perp BC\text{.}$

Поскольку призма прямая, её боковое ребро перпендикулярно основанию: $A{A}_1\perp (ABC)\text{,}$ а значит, $A{A}_1\perp BC\text{.}$ Отрезок $A_{1}H$ — наклонная, а $AH$ — её проекция на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах $A_{1}H\perp BC\text{.}$

Таким образом, $\angle A_{1}HA$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения $(A_{1}BC)$ и плоскостью основания. В прямоугольном треугольнике $A_{1}AH$ катеты равны ($A{A}_1=AH$), поэтому он является равнобедренным. Следовательно, $\angle A_{1}HA=45^{\circ }\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Сечение призмы плоскостью, проходящей через $BC$ и $A_1{D}_1\text{,}$ представляет собой параллелограмм $BC{D}_1{A}_1$ (так как $BC\parallel A_1{D}_1$ и $BC=A_1{D}_1$). Отрезок $A_{1}H$ перпендикулярен стороне $BC$ (доказано в пункте «а»), значит, он является высотой этого параллелограмма. Площадь сечения равна $S=BC\cdot A_{1}H\text{.}$

Найдём высоту ромба $AH\text{.}$ Площадь ромба можно выразить двумя способами:

С другой стороны:

Отсюда:

Из прямоугольного равнобедренного треугольника $A_{1}AH$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $A_{1}H\text{:}$

Найдём площадь сечения:

Ответ:

а) доказано

б) $32\sqrt{2}$