Задача №15977

а) Решите уравнение
$(2\cos 2x+1)\cdot \left(\sqrt{2\cos 2x+4\sin x+3}-2\sin x-1\right)=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Выражение имеет смысл при $2\cos 2x+4\sin x+3⩾0\text{.}$

Случай 1:

$$\sqrt{2\cos 2x+4\sin x+3}-2\sin x-1=0\iff \sqrt{2\cos 2x+4\sin x+3}=2\sin x+1.$$

Данное уравнение равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}2\sin x+1⩾0,\\ 2\cos 2x+4\sin x+3=(2\sin x+1{)}^2.\end{array}$$

Решим уравнение системы:

$$2(1-2{\sin }^{2}x)+4\sin x+3=4{\sin }^{2}x+4\sin x+1,$$ $$2-4{\sin }^{2}x+4\sin x+3=4{\sin }^{2}x+4\sin x+1,$$ $$8{\sin }^{2}x=4\iff {\sin }^{2}x=0,5\iff \sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Учитывая условие $\sin x⩾-0,5\text{,}$ корень $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ не подходит (так как $-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,7<-0,5$).
Значит, $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ откуда получаем две серии решений:

$$x=\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{и}x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Заметим, что условие $2\cos 2x+4\sin x+3⩾0$ выполняется автоматически при возведении в квадрат.

Случай 2:

$$2\cos 2x+1=0\iff \cos 2x=-0,5.$$

Корни этого уравнения:

$$2x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На тригонометрической окружности этим сериям соответствуют четыре точки: $\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3}\text{.}$
Проверим для них исходное условие $2\cos 2x+4\sin x+3⩾0\text{.}$
Поскольку $\cos 2x=-0,5\text{,}$ неравенство принимает вид:

$$2(-0,5)+4\sin x+3⩾0\iff 4\sin x+2⩾0\iff \sin x⩾-0,5.$$

Вычислим синус для каждой из четырёх точек:

1. Для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ имеем $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}>-0,5$ (подходит).
2. Для $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ имеем $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}>-0,5$ (подходит).
3. Для $x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k$ имеем $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}<-0,5$ (не подходит).
4. Для $x=\frac{5\pi }{3}+2\pi k$ имеем $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}<-0,5$ (не подходит).

Таким образом, остаются две серии решений:

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{и}x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]\text{,}$ с помощью двойных неравенств:

1. $\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{4}+2\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\iff \frac{1}{4}⩽2k⩽\frac{5}{4}\iff \frac{1}{8}⩽k⩽\frac{5}{8}\text{.}$ Целых $k$ нет.
2. $\frac{\pi }{2}⩽\frac{3\pi }{4}+2\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\iff -\frac{1}{4}⩽2k⩽\frac{3}{4}\iff -\frac{1}{8}⩽k⩽\frac{3}{8}\text{.}$ Подходит целое $k=0\text{,}$ тогда $x=\frac{3\pi }{4}\text{.}$
3. $\frac{\pi }{2}⩽\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\iff \frac{1}{6}⩽2k⩽\frac{7}{6}\iff \frac{1}{12}⩽k⩽\frac{7}{12}\text{.}$ Целых $k$ нет.
4. $\frac{\pi }{2}⩽\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{3\pi }{2}\iff -\frac{1}{6}⩽2k⩽\frac{5}{6}\iff -\frac{1}{12}⩽k⩽\frac{5}{12}\text{.}$ Подходит целое $k=0\text{,}$ тогда $x=\frac{2\pi }{3}\text{.}$

На отрезке лежат корни $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{3\pi }{4}\text{.}$

Ответ:

а) $\frac{\pi }{3}+2\pi k;\frac{2\pi }{3}+2\pi k;\frac{\pi }{4}+2\pi k;\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{2\pi }{3};\frac{3\pi }{4}$