а) Решите уравнение (2cos 2x + 1) * ( sqrt(2cos 2x + 4sin x + 3) - 2sin x - 1 ) = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ (pi)/(2); (3pi)/(2) ] .

а) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Выражение имеет смысл при 2cos 2x + 4sin x + 3 0 . Случай 1: sqrt(2cos 2x + 4sin x + 3) - 2sin x - 1 = 0 <=> sqrt(2cos 2x + 4sin x + 3) = 2sin x + 1. Данное уравнение равносильно системе: cases 2sin x + 1 0, 2cos 2x + 4sin x + 3 = (2sin x + 1)^2. cases Решим уравнение системы: 2(1 - 2sin^2 x) + 4sin x + 3 = 4sin^2 x + 4sin x + 1, 2 - 4sin^2 x + 4sin x + 3 = 4sin^2 x + 4sin x + 1, 8sin^2 x = 4 <=> sin^2 x = 0,5 <=> sin x = +- (sqrt(2))/(2). Учитывая условие sin x -0,5 , корень sin x = -(sqrt(2))/(2) не подходит (так как -(sqrt(2))/(2) ~ -0,7 < -0,5 ). Значит, sin x = (sqrt(2))/(2) , откуда получаем две серии решений: x = (pi)/(4) + 2pi k и x = (3pi)/(4) + 2pi k, k in Z. Заметим, что условие 2cos 2x + 4sin x + 3 0 выполняется автоматически при возведении в квадрат. Случай 2: 2cos 2x + 1 = 0 <=> cos 2x = -0,5. Корни этого уравнения: 2x = +- (2pi)/(3) + 2pi k <=> x = +- (pi)/(3) + pi k, k in Z. На тригонометрической окружности этим сериям соответствуют четыре точки: (pi)/(3); (2pi)/(3); (4pi)/(3); (5pi)/(3) . Проверим для них исходное условие 2cos 2x + 4sin x + 3 0 . Поскольку cos 2x = -0,5 , неравенство принимает вид: 2(-0,5) + 4sin x + 3 0 <=> 4sin x + 2 0 <=> sin x -0,5. Вычислим синус для каждой из четырёх точек: 1. Для x = (pi)/(3) + 2pi k имеем sin x = (sqrt(3))/(2) > -0,5 (подходит). 2. Для x = (2pi)/(3) + 2pi k имеем sin x = (sqrt(3))/(2) > -0,5 (подходит). 3. Для x = (4pi)/(3) + 2pi k имеем sin x = -(sqrt(3))/(2) < -0,5 (не подходит). 4. Для x = (5pi)/(3) + 2pi k имеем sin x = -(sqrt(3))/(2) < -0,5 (не подходит). Таким образом, остаются две серии решений: x = (pi)/(3) + 2pi k и x = (2pi)/(3) + 2pi k, k in Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [ (pi)/(2); (3pi)/(2) ] , с помощью двойных неравенств: 1. (pi)/(2) (pi)/(4) + 2pi k (3pi)/(2) <=> (1)/(4) 2k (5)/(4) <=> (1)/(8) k (5)/(8) . Целых k нет. 2. (pi)/(2) (3pi)/(4) + 2pi k (3pi)/(2) <=> -(1)/(4) 2k (3)/(4) <=> -(1)/(8) k (3)/(8) . Подходит целое k = 0 , тогда x = (3pi)/(4) . 3. (pi)/(2) (pi)/(3) + 2pi k (3pi)/(2) <=> (1)/(6) 2k (7)/(6) <=> (1)/(12) k (7)/(12) . Целых k нет. 4. (pi)/(2) (2pi)/(3) + 2pi k (3pi)/(2) <=> -(1)/(6) 2k (5)/(6) <=> -(1)/(12) k (5)/(12) . Подходит целое k = 0 , тогда x = (2pi)/(3) . На отрезке лежат корни (2pi)/(3) и (3pi)/(4) . Ответ: а) (pi)/(3) + 2pi k; (2pi)/(3) + 2pi k; (pi)/(4) + 2pi k; (3pi)/(4) + 2pi k, k in Z б) (2pi)/(3); (3pi)/(4)

а) \( \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{2\pi}{3}, \dfrac{3\pi}{4} \)