В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Через точку O проведена прямая, параллельная стороне AB . Эта прямая пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно. а) Докажите, что MN = AM + BN . б) Найдите длину отрезка MN , если известно, что AB = 15 , BC = 14 , AC = 13 .
а) Проведем биссектрису AO . Она делит угол пополам, значит, CAO = OAB . Так как MN AB , то углы MOA и OAB равны как накрест лежащие. Значит, MAO = MOA , и AMO — равнобедренный, откуда AM = MO . Аналогично, BO — биссектриса угла B , следовательно, BNO — равнобедренный и BN = NO . Тогда: MN = MO + NO = AM + BN. б) Так как MN AB , то CMN CAB . Коэффициент подобия k равен отношению периметров этих треугольников. Найдем периметр треугольника CMN : P_(CMN) = CM + CN + MN. Подставим MN = AM + BN из пункта а): P_(CMN) = CM + CN + (AM + BN) = (CM + AM) + (CN + BN) = AC + BC. Подставим числовые значения: P_(CMN) = 13 + 14 = 27. Периметр треугольника ABC : P_(ABC) = 13 + 14 + 15 = 42. Найдем коэффициент подобия: k = (P_(CMN))/(P_(ABC)) = (27)/(42) = (9)/(14). Тогда длина стороны MN равна: MN = AB * k = 15 * (9)/(14) = (135)/(14). Ответ: (135)/(14) .
\( \dfrac{135}{14} \)