Задача №15976

В треугольнике $ABC$ точка $O$ — центр вписанной окружности. Через точку $O$ проведена прямая, параллельная стороне $AB\text{.}$ Эта прямая пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $MN=AM+BN\text{.}$
б) Найдите длину отрезка $MN\text{,}$ если известно, что $AB=15\text{,}$ $BC=14\text{,}$ $AC=13\text{.}$

а) Проведем биссектрису $AO\text{.}$ Она делит угол пополам, значит, $\angle CAO=\angle OAB\text{.}$ Так как $MN\parallel AB\text{,}$ то углы $\angle MOA$ и $\angle OAB$ равны как накрест лежащие. Значит, $\angle MAO=\angle MOA\text{,}$ и $△AMO$ — равнобедренный, откуда $AM=MO\text{.}$

Аналогично, $BO$ — биссектриса угла $B\text{,}$ следовательно, $△BNO$ — равнобедренный и $BN=NO\text{.}$ Тогда:

$$MN=MO+NO=AM+BN.$$

б) Так как $MN\parallel AB\text{,}$ то $△CMN\sim △CAB\text{.}$ Коэффициент подобия $k$ равен отношению периметров этих треугольников.

Найдем периметр треугольника $CMN\text{:}$

$$P_{CMN}=CM+CN+MN.$$

Подставим $MN=AM+BN$ из пункта а):

$$P_{CMN}=CM+CN+(AM+BN)=(CM+AM)+(CN+BN)=AC+BC.$$

Подставим числовые значения:

$$P_{CMN}=13+14=27.$$

Периметр треугольника $ABC\text{:}$

$$P_{ABC}=13+14+15=42.$$

Найдем коэффициент подобия:

$$k=\frac{P_{CMN}}{P_{ABC}}=\frac{27}{42}=\frac{9}{14}.$$

Тогда длина стороны $MN$ равна:

$$MN=AB\cdot k=15\cdot \frac{9}{14}=\frac{135}{14}.$$

Ответ: $\frac{135}{14}\text{.}$