Задача №15975

Решите неравенство:

$\frac{2{\log }_{1-2|x|}\left(4x^2-3|x|+\frac{5}{4}\right)}{{\log }_{1-2|x|}{\left(x-\frac{5}{4}\right)}^2}⩽1\text{.}$

Найдём ограничения на $x\text{.}$ Для существования логарифмов и дроби должны выполняться следующие условия:

1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице:

$$1-2|x|>0\Rightarrow |x|<0,5\Rightarrow x\in (-0,5;0,5).$$ $$1-2|x|\ne 1\Rightarrow |x|\ne 0\Rightarrow x\ne 0.$$

2. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$$4x^2-3|x|+1,25>0.$$

Пусть $t=|x|\text{,}$ тогда $4t^2-3t+1,25>0\text{.}$ Дискриминант $D=9-4\cdot 4\cdot 1,25=9-20=-11\text{.}$ Так как старший коэффициент положителен и $D<0\text{,}$ неравенство верно при любых $x\text{.}$

$$(x-1,25{)}^2>0\Rightarrow x\ne 1,25.$$

3. Знаменатель дроби не равен нулю:

$${\log }_{1-2|x|}(x-1,25{)}^2\ne 0\Rightarrow (x-1,25{)}^2\ne 1\Rightarrow x-1,25\ne \pm 1.$$

Отсюда $x\ne 2,25$ и $x\ne 0,25\text{.}$

С учётом всех условий получаем ограничения на $x\text{:}$

$$x\in (-0,5;0)\cup (0;0,25)\cup (0,25;0,5).$$

Преобразуем знаменатель левой части исходного неравенства. Вынесем степень аргумента, учитывая модуль:

$${\log }_{1-2|x|}(x-1,25{)}^2=2{\log }_{1-2|x|}|x-1,25|.$$

Поскольку $x<0,5\text{,}$ выражение $x-1,25<0\text{,}$ поэтому $|x-1,25|=1,25-x\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{2{\log }_{1-2|x|}(4x^2-3|x|+1,25)}{2{\log }_{1-2|x|}(1,25-x)}⩽1.$$

На множестве допустимых значений сократим дробь на 2 и применим формулу перехода к новому основанию:

$${\log }_{1,25-x}(4x^2-3|x|+1,25)⩽1.$$ $${\log }_{1,25-x}(4x^2-3|x|+1,25)-{\log }_{1,25-x}(1,25-x)⩽0.$$

Применим метод рационализации. На ОДЗ это неравенство равносильно:

$$(1,25-x-1)(4x^2-3|x|+1,25-(1,25-x))⩽0.$$ $$(0,25-x)(4x^2-3|x|+x)⩽0.$$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля, опираясь на наши ограничения:

Случай 1: $x\in (0;0,25)\cup (0,25;0,5)\text{.}$

Тогда $|x|=x\text{,}$ и неравенство принимает вид:

$$(0,25-x)(4x^2-3x+x)⩽0.$$ $$(0,25-x)(4x^2-2x)⩽0.$$ $$2x(0,25-x)(2x-1)⩽0.$$

Так как в этом случае $x>0\text{,}$ разделим обе части на $2x\text{:}$

$$(0,25-x)(2x-1)⩽0.$$

Нули множителей: $x=0,25$ и $x=0,5\text{.}$ При $x\in (0;0,25)$ произведение $(0,25-x)(2x-1)<0\text{,}$ что подходит. При $x\in (0,25;0,5)$ произведение положительно, что не подходит.

Следовательно, решением в этом случае является интервал $(0;0,25)\text{.}$

Случай 2: $x\in (-0,5;0)\text{.}$

Тогда $|x|=-x\text{,}$ и неравенство принимает вид:

$$(0,25-x)(4x^2+3x+x)⩽0.$$ $$(0,25-x)(4x^2+4x)⩽0.$$

Поскольку $x<0\text{,}$ множитель $(0,25-x)>0,25>0\text{.}$ Разделим на него обе части без смены знака:

$$4x(x+1)⩽0.$$

Решение этого квадратного неравенства: $x\in [-1;0]\text{.}$ Пересекая с условием $x\in (-0,5;0)\text{,}$ получаем интервал $(-0,5;0)\text{.}$

Объединяя результаты двух случаев, получаем итоговый ответ:

$$x\in (-0,5;0)\cup (0;0,25).$$

Ответ: $(-0,5;0)\cup (0;0,25)$