Решите неравенство: (2 _(1 - 2|x|) (4x^2 - 3|x| + 54))/(_(1 - 2|x|) (x - 54)^2) 1 .
Найдём ограничения на x . Для существования логарифмов и дроби должны выполняться следующие условия: 1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: 1 - 2|x| > 0 => |x| < 0,5 => x in (-0,5; 0,5). 1 - 2|x| != 1 => |x| != 0 => x != 0. 2. Аргументы логарифмов должны быть положительными: 4x^2 - 3|x| + 1,25 > 0. Пусть t = |x| , тогда 4t^2 - 3t + 1,25 > 0 . Дискриминант D = 9 - 4 * 4 * 1,25 = 9 - 20 = -11 . Так как старший коэффициент положителен и D < 0 , неравенство верно при любых x . (x - 1,25)^2 > 0 => x != 1,25. 3. Знаменатель дроби не равен нулю: _(1 - 2|x|) (x - 1,25)^2 != 0 => (x - 1,25)^2 != 1 => x - 1,25 != +- 1. Отсюда x != 2,25 и x != 0,25 . С учётом всех условий получаем ограничения на x : x in (-0,5; 0) U (0; 0,25) U (0,25; 0,5). Преобразуем знаменатель левой части исходного неравенства. Вынесем степень аргумента, учитывая модуль: _(1 - 2|x|) (x - 1,25)^2 = 2 _(1 - 2|x|) |x - 1,25|. Поскольку x < 0,5 , выражение x - 1,25 < 0 , поэтому |x - 1,25| = 1,25 - x . Неравенство принимает вид: (2 _(1 - 2|x|) (4x^2 - 3|x| + 1,25))/(2 _(1 - 2|x|) (1,25 - x)) 1. На множестве допустимых значений сократим дробь на 2 и применим формулу перехода к новому основанию: _(1,)25 - x (4x^2 - 3|x| + 1,25) 1. _(1,)25 - x (4x^2 - 3|x| + 1,25) - _(1,)25 - x (1,25 - x) 0. Применим метод рационализации. На ОДЗ это неравенство равносильно: (1,25 - x - 1)(4x^2 - 3|x| + 1,25 - (1,25 - x)) 0. (0,25 - x)(4x^2 - 3|x| + x) 0. Рассмотрим два случая раскрытия модуля, опираясь на наши ограничения: **Случай 1:** x in (0; 0,25) U (0,25; 0,5) . Тогда |x| = x , и неравенство принимает вид: (0,25 - x)(4x^2 - 3x + x) 0. (0,25 - x)(4x^2 - 2x) 0. 2x(0,25 - x)(2x - 1) 0. Так как в этом случае x > 0 , разделим обе части на 2x : (0,25 - x)(2x - 1) 0. Нули множителей: x = 0,25 и x = 0,5 . При x in (0; 0,25) произведение (0,25 - x)(2x - 1) < 0 , что подходит. При x in (0,25; 0,5) произведение положительно, что не подходит. Следовательно, решением в этом случае является интервал (0; 0,25) . **Случай 2:** x in (-0,5; 0) . Тогда |x| = -x , и неравенство принимает вид: (0,25 - x)(4x^2 + 3x + x) 0. (0,25 - x)(4x^2 + 4x) 0. Поскольку x < 0 , множитель (0,25 - x) > 0,25 > 0 . Разделим на него обе части без смены знака: 4x(x + 1) 0. Решение этого квадратного неравенства: x in [-1; 0] . Пересекая с условием x in (-0,5; 0) , получаем интервал (-0,5; 0) . Объединяя результаты двух случаев, получаем итоговый ответ: x in (-0,5; 0) U (0; 0,25). Ответ: (-0,5; 0) U (0; 0,25)
\( (-0{,}5; 0) \cup (0; 0{,}25) \)