Задача №15974

Закон радиоактивного распада описывается формулой $m(t)=m_0\cdot 2^{-t/T}\text{,}$ где $m_0$ — начальная масса радиоактивного изотопа (в миллиграммах), $t$ — время, прошедшее от начального момента (в годах), а $T$ — период полураспада этого изотопа (в годах).

В марте 2026 года территория подверглась заражению изотопом Цезий-137. Известно, что его период полураспада $T=30$ лет. В момент заражения масса изотопа на контрольном участке составила 160 мг. Территория будет считаться безопасной для возвращения людей, когда масса изотопа на этом участке уменьшится до 5 мг. В каком году люди смогут безопасно вернуться на эту территорию?

Подставим известные данные в формулу: $m(t)=5\text{,}$ $m_0=160\text{,}$ $T=30\text{.}$

$$5=160\cdot 2^{-t/30}.$$

Разделим обе части уравнения на 160:

$$2^{-t/30}=\frac{5}{160}\Rightarrow 2^{-t/30}=\frac{1}{32}.$$

Представим $\frac{1}{32}$ как степень числа 2:

$$2^{-t/30}=2^{-5}.$$

Приравняем показатели степеней:

$$\frac{t}{30}=5\Rightarrow t=150.$$

Следовательно, территория станет безопасной через 150 лет. Найдём год возвращения:

$2026+150=2176\text{.}$

Ответ: 2176