Задача №15972

Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x^5+x^3-8x$ на отрезке $[-2;2]\text{.}$

Найдем производную функции:

$f^{\prime }(x)=5x^4+3x^2-8\text{.}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$5x^4+3x^2-8=0\text{.}$

Сделаем замену $t=x^2\text{,}$ где $t⩾0\text{,}$ получим квадратное уравнение:

$5t^2+3t-8=0\text{.}$

Корни уравнения: $t_1=1\text{,}$ $t_2=-\frac{8}{5}\text{.}$ Корень $t_2$ не удовлетворяет условию $t⩾0\text{.}$

Выполним обратную замену:

$x^2=1\Rightarrow x=\pm 1\text{.}$

Обе точки принадлежат заданному отрезку $[-2;2]\text{.}$ Найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках:

Наименьшее значение из полученных равно $-24\text{.}$

Ответ: -24