Задача №15971

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность, и в эту трапецию вписана окружность.

а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.

б) Найдите радиус этой окружности, если $BC=7\text{,}$ $AD=23\text{.}$

Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность, она является равнобедренной, то есть $AB=CD\text{.}$ Поскольку в эту же трапецию вписана окружность, суммы длин её противоположных сторон равны:

$$AD+BC=AB+CD$$

Учитывая, что $AD=23$ и $BC=7\text{,}$ получим:

$$AB+CD=23+7=30\Rightarrow AB=CD=15$$

Пусть $BH$ — высота трапеции, опущенная из вершины $B$ на основание $AD\text{.}$ В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее, отсекает отрезок $AH\text{,}$ равный полуразности оснований:

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{23-7}{2}=8$$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора найдём высоту $BH\text{:}$

$$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{15^2-8^2}=\sqrt{225-64}=\sqrt{161}$$

Радиус $r$ вписанной окружности равен половине высоты трапеции:

$$r=\frac{BH}{2}=\frac{\sqrt{161}}{2}$$

Ответ: $\frac{\sqrt{161}}{2}$