Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность, и в эту трапецию вписана окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Найдите радиус этой окружности, если BC = 7 , AD = 23 .
Так как трапеция ABCD вписана в окружность, она является равнобедренной, то есть AB = CD . Поскольку в эту же трапецию вписана окружность, суммы длин её противоположных сторон равны: AD + BC = AB + CD Учитывая, что AD = 23 и BC = 7 , получим: AB + CD = 23 + 7 = 30 => AB = CD = 15 Пусть BH — высота трапеции, опущенная из вершины B на основание AD . В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее, отсекает отрезок AH , равный полуразности оснований: AH = (AD - BC)/(2) = (23 - 7)/(2) = 8 Из прямоугольного треугольника ABH по теореме Пифагора найдём высоту BH : BH = sqrt(AB^2 - AH^2) = sqrt(15^2 - 8^2) = sqrt(225 - 64) = sqrt(161) Радиус r вписанной окружности равен половине высоты трапеции: r = (BH)/(2) = (sqrt(161))/(2) Ответ: (sqrt(161))/(2)
\( \dfrac{\sqrt{161}}{2} \)