а) Докажите, что ABM = DBC = 30^ . б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM , если BC = 9 .

Рассмотрим прямоугольник ABCD , в котором AB = CD = a , BC = AD = b . По условию прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно диагонали AC , пересекает сторону AD в точке M . а) Пусть BAC = alpha . В прямоугольном треугольнике ABC имеем = (BC)/(AB) = (b)/(a) . В треугольнике ABM (где A = 90^ ) отрезок BM перпендикулярен AC , следовательно, ABM = BCA = 90^ - alpha . Тогда: AM = AB * tg(90^ - alpha) = a ctg alpha BM = (AB)/(cos(90^ - alpha)) = (a)/() Поскольку точка M лежит на стороне AD , то MD = AD - AM = b - a ctg alpha . По условию точка M равноудалена от вершин B и D , то есть MB = MD : (a)/() = b - a ctg alpha Разделим на a и подставим (b)/(a) = : (1)/() = - => (1)/() = ()/() - ()/() (1)/() = (sin^2alpha - cos^2alpha)/( ) => = sin^2alpha - cos^2alpha Используя основное тригонометрическое тождество sin^2alpha = 1 - cos^2alpha , получаем: = 1 - 2cos^2alpha => 2cos^2alpha + - 1 = 0 Корни уравнения: = 0,5 и = -1 . Так как alpha — острый угол прямоугольного треугольника, то = 0,5 , откуда alpha = 60^ . Тогда BCA = 90^ - 60^ = 30^ . В силу параллельности AD и BC , DBC = BCA = 30^ как накрест лежащие. Также ABM = 90^ - 60^ = 30^ . Таким образом, ABM = DBC = 30^ . б) Найдём стороны прямоугольника при BC = 9 . Так как tg 60^ = (b)/(a) , то a = (b)/(sqrt(3)) = (9)/(sqrt(3)) = 3sqrt(3) . Введём систему координат с началом в точке B(0; 0) . Тогда C(9; 0) , D(9; 3sqrt(3)) , A(0; 3sqrt(3)) . Координата x точки M равна AM = a ctg 60^ = 3sqrt(3) * (1)/(sqrt(3)) = 3 . Таким образом, M(3; 3sqrt(3)) . Центр прямоугольника O — середина диагонали BD : O(4,5; 1,5sqrt(3)) . Уравнение прямой CM : (x - 9)/(3 - 9) = (y - 0)/(3sqrt(3) - 0) => sqrt(3)(x - 9) = -2y => sqrt(3)x + 2y - 9sqrt(3) = 0 Расстояние от O до CM : d = (|4,5sqrt(3) + 2 * 1,5sqrt(3) - 9sqrt(3)|)/(sqrt((3)^2 + 2^2)) = (|7,5sqrt(3) - 9sqrt(3)|)/(sqrt(7)) = (1,5sqrt(3))/(sqrt(7)) = (3sqrt(21))/(14) Ответ: (3sqrt(21))/(14)

а) доказано б) \( \dfrac{3\sqrt{21}}{14} \)