а) Докажите, что ∠ABM=∠DBC=30∘.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC=9.
Рассмотрим прямоугольник ABCD, в котором AB=CD=a, BC=AD=b. По условию прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M.
а) Пусть ∠BAC=α. В прямоугольном треугольнике ABC имеем tgα=ABBC=ab.
В треугольнике ABM (где ∠A=90∘) отрезок BM перпендикулярен AC, следовательно, ∠ABM=∠BCA=90∘−α. Тогда:
AM=AB⋅tg(90∘−α)=actgα BM=cos(90∘−α)AB=sinαaПоскольку точка M лежит на стороне AD, то MD=AD−AM=b−actgα. По условию точка M равноудалена от вершин B и D, то есть MB=MD:
sinαa=b−actgαРазделим на a и подставим ab=tgα:
sinα1=tgα−ctgα⇒sinα1=cosαsinα−sinαcosα sinα1=sinαcosαsin2α−cos2α⇒cosα=sin2α−cos2αИспользуя основное тригонометрическое тождество sin2α=1−cos2α, получаем:
cosα=1−2cos2α⇒2cos2α+cosα−1=0Корни уравнения: cosα=0,5 и cosα=−1. Так как α — острый угол прямоугольного треугольника, то cosα=0,5, откуда α=60∘.
Тогда ∠BCA=90∘−60∘=30∘. В силу параллельности AD и BC, ∠DBC=∠BCA=30∘ как накрест лежащие. Также ∠ABM=90∘−60∘=30∘. Таким образом, ∠ABM=∠DBC=30∘.
б) Найдём стороны прямоугольника при BC=9. Так как tg60∘=ab, то a=3b=39=33.
Введём систему координат с началом в точке B(0;0). Тогда C(9;0), D(9;33), A(0;33). Координата x точки M равна AM=actg60∘=33⋅31=3. Таким образом, M(3;33).
Центр прямоугольника O — середина диагонали BD: O(4,5;1,53).
Уравнение прямой CM:
3−9x−9=33−0y−0⇒3(x−9)=−2y⇒3x+2y−93=0Расстояние от O до CM:
d=(3)2+22∣4,53+2⋅1,53−93∣=7∣7,53−93∣=71,53=14321Ответ: 14321
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ