Задача №15965

Сложно

Задача #15965

Уравнения с параметром•4 балла

Найдите все значения $a,$ для каждого из которых уравнение

(2 x + ln (x + 2 a))^{2} = (2 x - ln (x + 2 a))^{2}

имеет единственный корень на отрезке $[0; 1] .$

Уравнение $(2 x + ln (x + 2 a))^{2} = (2 x - ln (x + 2 a))^{2}$ равносильно:

2 x + ln (x + 2 a) = 2 x - ln (x + 2 a) или 2 x + ln (x + 2 a) = - 2 x + ln (x + 2 a) .

Из первого:

ln (x + 2 a) = 0 \Rightarrow x + 2 a = 1 \Rightarrow x = 1 - 2 a .

Из второго:

4 x = 0 \Rightarrow x = 0.

ОДЗ: $x + 2 a > 0 .$

Корень $x = 0$ существует при $a > 0 .$ Корень $x = 1 - 2 a$ существует всегда (ОДЗ: $1 > 0$ ), но должен лежать на отрезке $[0; 1] :$

0 ⩽ 1 - 2 a ⩽ 1 \Leftrightarrow 0 ⩽ a ⩽ \frac{1}{2} .

Анализ:

1. $a < 0 :$ решений нет.
2. $a = 0 :$ только $x = 1$ — один корень.
3. $0 < a < \frac{1}{2} :$ оба корня — два решения.
4. $a = \frac{1}{2} :$ корни совпадают ( $x = 0$ ) — один корень.
5. $a > \frac{1}{2} :$ только $x = 0$ — один корень.