Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение (2x+ln(x+2a))^2=(2x-ln(x+2a))^2 имеет единственный корень на отрезке [0; 1].

Уравнение (2x+ln(x+2a))^2=(2x-ln(x+2a))^2 равносильно: 2x+ln(x+2a) = 2x-ln(x+2a) или 2x+ln(x+2a) = -2x+ln(x+2a). Из первого: ln(x+2a)=0=> x+2a=1=> x=1-2a. Из второго: 4x=0=> x=0. ОДЗ: x+2a > 0. Корень x=0 существует при a>0. Корень x=1-2a существует всегда (ОДЗ: 1>0), но должен лежать на отрезке [0;1]: 0 1-2a 1<=> 0 a 12. Анализ: 1. a < 0: решений нет. 2. a = 0: только x = 1 — один корень. 3. 0 < a < 12: оба корня — два решения. 4. a = 12: корни совпадают (x = 0) — один корень. 5. a > 12: только x = 0 — один корень. Ответ: a = 0 или a 12.

\(a = 0\text{ или }a\ge\dfrac12\)