б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если A = 135^, B_1C_1 = 10 и площадь треугольника AB_1C_1 в семь раз меньше площади четырёхугольника BCB_1C_1.

Пусть площадь треугольника AB_1C_1 равна S . По условию площадь четырёхугольника BCB_1C_1 в семь раз больше, то есть S_(BCB_1C_1) = 7S . Тогда площадь треугольника ABC равна: S_(ABC) = S_(AB_1C_1) + S_(BCB_1C_1) = S + 7S = 8S Поскольку точки B, C, B_1, C_1 лежат на одной окружности, углы AB_1C_1 и ABC связаны: угол AB_1C_1 равен внешнему углу при вершине B_1 вписанного четырёхугольника, что равно углу ABC (свойство вписанного четырёхугольника: внешний угол равен противолежащему внутреннему). Таким образом, AB_1C_1 ABC по двум углам (угол A — общий). Коэффициент подобия этих треугольников равен: k = sqrt((S_(AB_1C_1))/(S_(ABC))) = sqrt((S)/(8S)) = (1)/(sqrt(8)) = (1)/(2sqrt(2)) Длина стороны BC находится из отношения соответствующих сторон: (B_1C_1)/(BC) = k => BC = (B_1C_1)/(k) = (10)/(1/(2sqrt(2))) = 20sqrt(2) Найдём радиус R окружности, проходящей через точки B, C, B_1, C_1 . Эта окружность является описанной для треугольника BCC_1 . По теореме синусов для BCC_1 : R = (CC_1)/(2sin CBC_1) = (CC_1)/(2sin B) Из теоремы синусов для ABC : (AC)/(sin B) = (BC)/(sin A) = (20sqrt(2))/(sin 135^) = (20sqrt(2))/(sqrt(2)/2) = 40 В треугольнике ACC_1 имеем AC_1 = k * AC = (AC)/(2sqrt(2)) и A = 135^ . По теореме косинусов: CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 - 2 AC * AC_1 cos 135^ CC_1^2 = AC^2 + (AC^2)/(8) - 2 AC * (AC)/(2sqrt(2)) * ( -(sqrt(2))/(2) ) = AC^2 ( 1 + (1)/(8) + (1)/(2) ) = (13)/(8) AC^2 CC_1 = ACsqrt((13)/(8)) = AC (sqrt(13))/(2sqrt(2)) Тогда радиус окружности: R = (AC * sqrt(13)2sqrt(2))/(2sin B) = (1)/(2) * ( (AC)/(sin B) ) * (sqrt(13))/(2sqrt(2)) = (1)/(2) * 40 * (sqrt(13))/(2sqrt(2)) = (10sqrt(13))/(sqrt(2)) = 5sqrt(26) Ответ: а) BC = 20sqrt(2) б) R = 5sqrt(26)

а) \( 20\sqrt{2} \) б) \( 5\sqrt{26} \)