Задача №15964

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A{B}_1{C}_1\text{.}$

б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=135^{\circ }\text{,}$ $B_1{C}_1=10$ и площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ в семь раз меньше площади четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1\text{.}$

Пусть площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ равна $S\text{.}$ По условию площадь четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1$ в семь раз больше, то есть $S_{BC{B}_1{C}_1}=7S\text{.}$ Тогда площадь треугольника $ABC$ равна:

$$S_{ABC}=S_{A{B}_1{C}_1}+S_{BC{B}_1{C}_1}=S+7S=8S$$

Поскольку точки $B,C,B_1,C_1$ лежат на одной окружности, углы $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ связаны: угол $A{B}_1{C}_1$ равен внешнему углу при вершине $B_1$ вписанного четырёхугольника, что равно углу $ABC$ (свойство вписанного четырёхугольника: внешний угол равен противолежащему внутреннему). Таким образом, $△A{B}_1{C}_1\sim △ABC$ по двум углам (угол $A$ — общий).

Коэффициент подобия этих треугольников равен:

$$k=\sqrt{\frac{S_{A{B}_1{C}_1}}{S_{ABC}}}=\sqrt{\frac{S}{8S}}=\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

Длина стороны $BC$ находится из отношения соответствующих сторон:

$$\frac{B_1{C}_1}{BC}=k\Rightarrow BC=\frac{B_1{C}_1}{k}=\frac{10}{1/(2\sqrt{2})}=20\sqrt{2}$$

Найдём радиус $R$ окружности, проходящей через точки $B,C,B_1,C_1\text{.}$ Эта окружность является описанной для треугольника $BC{C}_1\text{.}$ По теореме синусов для $△BC{C}_1\text{:}$

$$R=\frac{C{C}_1}{2\sin \angle CB{C}_1}=\frac{C{C}_1}{2\sin B}$$

Из теоремы синусов для $△ABC\text{:}$

$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{20\sqrt{2}}{\sin 135^{\circ }}=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2}=40$$

В треугольнике $AC{C}_1$ имеем $A{C}_1=k\cdot AC=\frac{AC}{2\sqrt{2}}$ и $\angle A=135^{\circ }\text{.}$ По теореме косинусов:

$$C{C}_1^2=A{C}^2+A{C}_1^2-2AC\cdot A{C}_1\cos 135^{\circ }$$ $$C{C}_1^2=A{C}^2+\frac{A{C}^2}{8}-2AC\cdot \frac{AC}{2\sqrt{2}}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=A{C}^2\left(1+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\right)=\frac{13}{8}A{C}^2$$ $$C{C}_1=AC\sqrt{\frac{13}{8}}=AC\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}$$

Тогда радиус окружности:

$$R=\frac{AC\cdot \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}}{2\sin B}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{AC}{\sin B}\right)\cdot \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot \frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{13}}{\sqrt{2}}=5\sqrt{26}$$

Ответ:

а) $BC=20\sqrt{2}$

б) $R=5\sqrt{26}$