б) Вычислите длину стороны B_1C_1 и радиус данной окружности, если A = 150^ , BC = 5sqrt(5) и площадь треугольника AB_1C_1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника BCB_1C_1 .

б) Поскольку четырёхугольник BCB_1C_1 вписан в окружность, углы при его вершинах связаны соотношениями: BC_1B_1 + B_1CB = 180^ . Так как AC_1B_1 + BC_1B_1 = 180^ (смежные углы), то AC_1B_1 = ACB . Аналогично, AB_1C_1 = ABC . Следовательно, AB_1C_1 ACB по двум углам. Так как A = 150^ , то в треугольниках ABC и AB_1C_1 вершины B_1 и C_1 лежат на продолжениях сторон AC и AB за точку A . В этом случае точка A является точкой пересечения диагоналей BB_1 и CC_1 вписанного четырёхугольника BCB_1C_1 . Площадь такого четырёхугольника складывается из площадей треугольников ABC и AB_1C_1 : S_(BCB_1C_1) = S_(ABC) + S_(AB_1C_1) По условию S_(AB_1C_1) = (1)/(4) S_(BCB_1C_1) , следовательно: S_(AB_1C_1) = (1)/(4) (S_(ABC) + S_(AB_1C_1)) => 4S_(AB_1C_1) = S_(ABC) + S_(AB_1C_1) => S_(ABC) = 3S_(AB_1C_1) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия k = (B_1C_1)/(BC) : k^2 = (S_(AB_1C_1))/(S_(ABC)) = (1)/(3) => k = (1)/(sqrt(3)) Тогда длина стороны B_1C_1 : B_1C_1 = k * BC = (1)/(sqrt(3)) * 5sqrt(5) = (5sqrt(15))/(3) Для нахождения радиуса R окружности воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника: угол между диагоналями BAC = 150^ равен полусумме дуг, на которые они опираются. Пусть arc BC = alpha и arc B_1C_1 = beta . Тогда: (alpha + beta)/(2) = 150^ => alpha + beta = 300^ Хорды выражаются через радиус как BC = 2R sin (alpha)/(2) и B_1C_1 = 2R sin (beta)/(2) . С учётом B_1C_1 = (BC)/(sqrt(3)) и (beta)/(2) = 150^ - (alpha)/(2) : 2R sin ( 150^ - (alpha)/(2) ) = (1)/(sqrt(3)) * 2R sin (alpha)/(2) sin 150^ cos (alpha)/(2) - cos 150^ sin (alpha)/(2) = (1)/(sqrt(3)) sin (alpha)/(2) (1)/(2) cos (alpha)/(2) + (sqrt(3))/(2) sin (alpha)/(2) = (1)/(sqrt(3)) sin (alpha)/(2) Разделим на sin (alpha)/(2) : (1)/(2) ctg (alpha)/(2) + (sqrt(3))/(2) = (1)/(sqrt(3)) => (1)/(2) ctg (alpha)/(2) = (1)/(sqrt(3)) - (sqrt(3))/(2) = -(1)/(2sqrt(3)) ctg (alpha)/(2) = -(1)/(sqrt(3)) => (alpha)/(2) = 120^ Тогда BC = 2R sin 120^ = 2R * (sqrt(3))/(2) = Rsqrt(3) . Отсюда: R = (BC)/(sqrt(3)) = (5sqrt(5))/(sqrt(3)) = (5sqrt(15))/(3) Ответ: B_1C_1 = (5sqrt(15))/(3) ; R = (5sqrt(15))/(3) .

б) \( B_1C_1 = \dfrac{5\sqrt{15}}{3}; R = \dfrac{5\sqrt{15}}{3} \)