Задача №15961

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A{B}_1{C}_1\text{.}$

б) Вычислите длину стороны $B_1{C}_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=150^{\circ }\text{,}$ $BC=5\sqrt{5}$ и площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1\text{.}$

а) Так как точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ лежат на одной окружности, четырёхугольник $BC{B}_1{C}_1$ вписанный, поэтому $\angle A{B}_1{C}_1=\angle ABC$ (внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине). Треугольники $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ имеют общий угол $A\text{,}$ и $\angle A{B}_1{C}_1=\angle ABC\text{,}$ значит, они подобны по двум углам:

$$△A{B}_1{C}_1\sim △ABC.$$

б) Пусть $k$ — коэффициент подобия, $k=\frac{B_1{C}_1}{BC}=\frac{A{C}_1}{AC}=\frac{A{B}_1}{AB}\text{.}$ Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По условию $S_{BC{B}_1{C}_1}=4S_{A{B}_1{C}_1}\text{,}$ поэтому

$$S_{ABC}=S_{A{B}_1{C}_1}+S_{BC{B}_1{C}_1}=5S_{A{B}_1{C}_1},k^2=\frac{S_{A{B}_1{C}_1}}{S_{ABC}}=\frac{1}{5},k=\frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Тогда

$$B_1{C}_1=k\cdot BC=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot 5\sqrt{5}=5.$$

Найдём радиус $R$ окружности, проходящей через точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1\text{.}$ Она описана около треугольника $BC{C}_1\text{,}$ а так как точка $C_1$ лежит на стороне $AB\text{,}$ то $\angle C_{1}BC=\angle ABC\text{,}$ и по теореме синусов

$$2R=\frac{C{C}_1}{\sin \angle C_{1}BC}=\frac{C{C}_1}{\sin \angle ABC}.$$

В треугольнике $AC{C}_1$ имеем $A{C}_1=k\cdot AC$ и $\angle A=150^{\circ }\text{,}$ поэтому по теореме косинусов

$$C{C}_1^2=A{C}^2+A{C}_1^2-2AC\cdot A{C}_1\cos 150^{\circ }=A{C}^2\left(1+k^2-2k\cos 150^{\circ }\right).$$

По теореме синусов в треугольнике $ABC\text{:}$ $\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{BC}{\sin 150^{\circ }}\text{.}$ Значит,

$$2R=\frac{BC}{\sin 150^{\circ }}\sqrt{1+k^2-2k\cos 150^{\circ }}.$$

Подставляя $BC=5\sqrt{5}\text{,}$ $k=\frac{1}{\sqrt{5}}\text{,}$ $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}\text{:}$

$$1+k^2-2k\cos 150^{\circ }=1+\frac{1}{5}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{6+\sqrt{15}}{5},$$ $$2R=\frac{5\sqrt{5}}{1/2}\cdot \sqrt{\frac{6+\sqrt{15}}{5}}=10\sqrt{5}\cdot \frac{\sqrt{6+\sqrt{15}}}{\sqrt{5}}=10\sqrt{6+\sqrt{15}},R=5\sqrt{6+\sqrt{15}}.$$

Ответ: $B_1{C}_1=5\text{,}$ $R=5\sqrt{6+\sqrt{15}}\text{.}$