Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках C_1 и B_1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB_1C_1. б) Вычислите длину стороны B_1C_1 и радиус данной окружности, если A = 150^ , BC = 5sqrt(5) и площадь треугольника AB_1C_1 в четыре раза меньше площади четырёхугольника BCB_1C_1 .
а) Так как точки B, C, B_1, C_1 лежат на одной окружности, четырёхугольник BCB_1C_1 вписанный, поэтому AB_1C_1 = ABC (внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине). Треугольники AB_1C_1 и ABC имеют общий угол A, и AB_1C_1 = ABC, значит, они подобны по двум углам: AB_1C_1 ABC. б) Пусть k — коэффициент подобия, k = (B_1C_1)/(BC) = (AC_1)/(AC) = (AB_1)/(AB). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По условию S_(BCB_1C_1) = 4S_(AB_1C_1), поэтому S_(ABC) = S_(AB_1C_1) + S_(BCB_1C_1) = 5S_(AB_1C_1), k^2 = (S_(AB_1C_1))/(S_(ABC)) = (1)/(5), k = (1)/(sqrt(5)). Тогда B_1C_1 = k* BC = (1)/(sqrt(5))* 5sqrt(5) = 5. Найдём радиус R окружности, проходящей через точки B, C, B_1, C_1. Она описана около треугольника BCC_1, а так как точка C_1 лежит на стороне AB, то C_1BC = ABC, и по теореме синусов 2R = (CC_1)/(sin C_1BC) = (CC_1)/(sin ABC). В треугольнике ACC_1 имеем AC_1 = k* AC и A = 150^, поэтому по теореме косинусов CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 - 2AC* AC_1cos 150^ = AC^2(1 + k^2 - 2kcos 150^). По теореме синусов в треугольнике ABC: (AC)/(sin ABC) = (BC)/(sin A) = (BC)/(sin 150^). Значит, 2R = (BC)/(sin 150^)sqrt(1 + k^2 - 2kcos 150^). Подставляя BC = 5sqrt(5), k = (1)/(sqrt(5)), cos 150^ = -(sqrt(3))/(2), sin 150^ = (1)/(2): 1 + k^2 - 2kcos 150^ = 1 + (1)/(5) + (sqrt(3))/(sqrt(5)) = (6 + sqrt(15))/(5), 2R = (5sqrt(5))/(1/2)*sqrt((6 + 15)/(5)) = 10sqrt(5)*(sqrt(6 + 15))/(sqrt(5)) = 10sqrt(6 + 15), R = 5sqrt(6 + 15). Ответ: B_1C_1 = 5, R = 5sqrt(6 + 15).
\(B_1C_1 = 5\); \(R = 5\sqrt{6 + \sqrt{15}}\)