б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если A = 45^ , B_1C_1 = 6 и площадь треугольника AB_1C_1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB_1C_1 .

б) Рассмотрим четырёхугольник BCB_1C_1 . Поскольку он вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180^ . Тогда CB_1C_1 + ABC = 180^ Угол AB_1C_1 является смежным с углом CB_1C_1 , следовательно, AB_1C_1 = 180^ - CB_1C_1 = ABC Треугольники AB_1C_1 и ABC имеют общий угол A и равные углы AB_1C_1 = ABC . Следовательно, AB_1C_1 ABC по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k . Тогда (S_(AB_1C_1))/(S_(ABC)) = k^2 По условию площадь треугольника AB_1C_1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB_1C_1 : S_(BCB_1C_1) = 8 S_(AB_1C_1) Так как S_(ABC) = S_(AB_1C_1) + S_(BCB_1C_1) , получаем: S_(ABC) = S_(AB_1C_1) + 8 S_(AB_1C_1) = 9 S_(AB_1C_1) => (S_(AB_1C_1))/(S_(ABC)) = (1)/(9) Отсюда k^2 = (1)/(9) , значит, k = (1)/(3) . Из подобия следует: (B_1C_1)/(BC) = k = (1)/(3) => BC = 3 B_1C_1 = 3 * 6 = 18 Для нахождения радиуса R данной окружности (описанной около четырёхугольника BCB_1C_1 ), воспользуемся теоремой синусов для BCC_1 : R = (BC)/(2 sin BC_1C) Угол BC_1C смежен углу AC_1C , поэтому sin BC_1C = sin AC_1C . Из подобия треугольников имеем (AC_1)/(AC) = k = (1)/(3) , то есть AC_1 = (1)/(3) AC . Обозначим AC = b , тогда AC_1 = (b)/(3) . В ACC_1 по теореме косинусов: CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 - 2 AC * AC_1 cos A = b^2 + (b^2)/(9) - 2 * b * (b)/(3) * (sqrt(2))/(2) = b^2 ( (10 - 3sqrt(2))/(9) ) По теореме синусов в ACC_1 : (CC_1)/(sin A) = (AC)/(sin AC_1C) => sin AC_1C = (b sin 45^)/(CC_1) = (b * sqrt(2)2)/(b3 sqrt(10 - 32)) = (3sqrt(2))/(2sqrt(10 - 32)) Подставляем в формулу для радиуса: R = (18)/(2 * 3sqrt(2)2sqrt(10 - 32)) = (18sqrt(10 - 32))/(3sqrt(2)) = 6sqrt((10 - 32)/(2)) = 6sqrt(5 - 1,52) = 3sqrt(20 - 62) Ответ: BC = 18 , R = 3sqrt(20 - 62) .

18; \( 3\sqrt{20 - 6\sqrt{2}} \)