Задача №15960

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A{B}_1{C}_1\text{.}$

б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=45^{\circ }\text{,}$ $B_1{C}_1=6$ и площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1\text{.}$

б) Рассмотрим четырёхугольник $BC{B}_1{C}_1\text{.}$ Поскольку он вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }\text{.}$ Тогда

$$\angle C{B}_1{C}_1+\angle ABC=180^{\circ }$$

Угол $A{B}_1{C}_1$ является смежным с углом $C{B}_1{C}_1\text{,}$ следовательно,

$$\angle A{B}_1{C}_1=180^{\circ }-\angle C{B}_1{C}_1=\angle ABC$$

Треугольники $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ имеют общий угол $A$ и равные углы $\angle A{B}_1{C}_1=\angle ABC\text{.}$ Следовательно, $△A{B}_1{C}_1\sim △ABC$ по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен $k\text{.}$ Тогда

$$\frac{S_{A{B}_1{C}_1}}{S_{ABC}}=k^2$$

По условию площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ в восемь раз меньше площади четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1\text{:}$

$$S_{BC{B}_1{C}_1}=8S_{A{B}_1{C}_1}$$

Так как $S_{ABC}=S_{A{B}_1{C}_1}+S_{BC{B}_1{C}_1}\text{,}$ получаем:

$$S_{ABC}=S_{A{B}_1{C}_1}+8S_{A{B}_1{C}_1}=9S_{A{B}_1{C}_1}\Rightarrow \frac{S_{A{B}_1{C}_1}}{S_{ABC}}=\frac{1}{9}$$

Отсюда $k^2=\frac{1}{9}\text{,}$ значит, $k=\frac{1}{3}\text{.}$

Из подобия следует:

$$\frac{B_1{C}_1}{BC}=k=\frac{1}{3}\Rightarrow BC=3B_1{C}_1=3\cdot 6=18$$

Для нахождения радиуса $R$ данной окружности (описанной около четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1$), воспользуемся теоремой синусов для $△BC{C}_1\text{:}$

$$R=\frac{BC}{2\sin \angle B{C}_{1}C}$$

Угол $\angle B{C}_{1}C$ смежен углу $\angle A{C}_{1}C\text{,}$ поэтому $\sin \angle B{C}_{1}C=\sin \angle A{C}_{1}C\text{.}$ Из подобия треугольников имеем $\frac{A{C}_1}{AC}=k=\frac{1}{3}\text{,}$ то есть $A{C}_1=\frac{1}{3}AC\text{.}$ Обозначим $AC=b\text{,}$ тогда $A{C}_1=\frac{b}{3}\text{.}$ В $△AC{C}_1$ по теореме косинусов:

$$C{C}_1^2=A{C}^2+A{C}_1^2-2AC\cdot A{C}_1\cos A=b^2+\frac{b^2}{9}-2\cdot b\cdot \frac{b}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=b^2\left(\frac{10-3\sqrt{2}}{9}\right)$$

По теореме синусов в $△AC{C}_1\text{:}$

$$\frac{C{C}_1}{\sin A}=\frac{AC}{\sin \angle A{C}_{1}C}\Rightarrow \sin \angle A{C}_{1}C=\frac{b\sin 45^{\circ }}{C{C}_1}=\frac{b\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{b}{3}\sqrt{10-3\sqrt{2}}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10-3\sqrt{2}}}$$

Подставляем в формулу для радиуса:

$$R=\frac{18}{2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10-3\sqrt{2}}}}=\frac{18\sqrt{10-3\sqrt{2}}}{3\sqrt{2}}=6\sqrt{\frac{10-3\sqrt{2}}{2}}=6\sqrt{5-1,5\sqrt{2}}=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}$$

Ответ: $BC=18\text{,}$ $R=3\sqrt{20-6\sqrt{2}}\text{.}$