Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках C_1 и B_1 соответственно. а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику AB_1C_1. б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если A = 30^, B_1C_1 = 5 и площадь треугольника AB_1C_1 в пять раз меньше площади четырёхугольника BCB_1C_1.
а) Так как точки B, C, B_1, C_1 лежат на одной окружности, четырёхугольник BCB_1C_1 вписанный, поэтому AB_1C_1 = ABC (внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине). Треугольники AB_1C_1 и ABC имеют общий угол A, и AB_1C_1 = ABC, значит, они подобны по двум углам: AB_1C_1 ABC. б) Пусть k — коэффициент подобия, k = (B_1C_1)/(BC) = (AC_1)/(AC) = (AB_1)/(AB). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По условию S_(BCB_1C_1) = 5S_(AB_1C_1), поэтому S_(ABC) = S_(AB_1C_1) + S_(BCB_1C_1) = 6S_(AB_1C_1), k^2 = (S_(AB_1C_1))/(S_(ABC)) = (1)/(6), k = (1)/(sqrt(6)). Тогда BC = (B_1C_1)/(k) = 5sqrt(6). Найдём радиус R окружности, проходящей через точки B, C, B_1, C_1. Она описана около треугольника BCC_1, а так как точка C_1 лежит на стороне AB, то C_1BC = ABC, и по теореме синусов 2R = (CC_1)/(sin C_1BC) = (CC_1)/(sin ABC). В треугольнике ACC_1 имеем AC_1 = k* AC и A = 30^, поэтому по теореме косинусов CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 - 2AC* AC_1cos 30^ = AC^2(1 + k^2 - 2kcos 30^). По теореме синусов в треугольнике ABC: (AC)/(sin ABC) = (BC)/(sin A) = (BC)/(sin 30^). Значит, 2R = (AC)/(sin ABC)sqrt(1 + k^2 - 2kcos 30^) = (BC)/(sin 30^)sqrt(1 + k^2 - 2kcos 30^). Подставляя BC = 5sqrt(6), k = (1)/(sqrt(6)), cos 30^ = (sqrt(3))/(2), sin 30^ = (1)/(2): 1 + k^2 - 2kcos 30^ = 1 + (1)/(6) - (sqrt(3))/(sqrt(6)) = (7 - 3sqrt(2))/(6), 2R = (5sqrt(6))/(1/2)*sqrt((7 - 32)/(6)) = 10sqrt(6)*(sqrt(7 - 32))/(sqrt(6)) = 10sqrt(7 - 32), R = 5sqrt(7 - 32). Ответ: BC = 5sqrt(6), R = 5sqrt(7 - 32).
\(BC = 5\sqrt{6}\); \(R = 5\sqrt{7 - 3\sqrt{2}}\)