Задача №15954

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A{B}_1{C}_1\text{.}$

б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $\angle A=30^{\circ }\text{,}$ $B_1{C}_1=5$ и площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ в пять раз меньше площади четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1\text{.}$

а) Так как точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ лежат на одной окружности, четырёхугольник $BC{B}_1{C}_1$ вписанный, поэтому $\angle A{B}_1{C}_1=\angle ABC$ (внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине). Треугольники $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ имеют общий угол $A\text{,}$ и $\angle A{B}_1{C}_1=\angle ABC\text{,}$ значит, они подобны по двум углам:

$$△A{B}_1{C}_1\sim △ABC.$$

б) Пусть $k$ — коэффициент подобия, $k=\frac{B_1{C}_1}{BC}=\frac{A{C}_1}{AC}=\frac{A{B}_1}{AB}\text{.}$ Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. По условию $S_{BC{B}_1{C}_1}=5S_{A{B}_1{C}_1}\text{,}$ поэтому

$$S_{ABC}=S_{A{B}_1{C}_1}+S_{BC{B}_1{C}_1}=6S_{A{B}_1{C}_1},k^2=\frac{S_{A{B}_1{C}_1}}{S_{ABC}}=\frac{1}{6},k=\frac{1}{\sqrt{6}}.$$

Тогда

$$BC=\frac{B_1{C}_1}{k}=5\sqrt{6}.$$

Найдём радиус $R$ окружности, проходящей через точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1\text{.}$ Она описана около треугольника $BC{C}_1\text{,}$ а так как точка $C_1$ лежит на стороне $AB\text{,}$ то $\angle C_{1}BC=\angle ABC\text{,}$ и по теореме синусов

$$2R=\frac{C{C}_1}{\sin \angle C_{1}BC}=\frac{C{C}_1}{\sin \angle ABC}.$$

В треугольнике $AC{C}_1$ имеем $A{C}_1=k\cdot AC$ и $\angle A=30^{\circ }\text{,}$ поэтому по теореме косинусов

$$C{C}_1^2=A{C}^2+A{C}_1^2-2AC\cdot A{C}_1\cos 30^{\circ }=A{C}^2\left(1+k^2-2k\cos 30^{\circ }\right).$$

По теореме синусов в треугольнике $ABC\text{:}$ $\frac{AC}{\sin \angle ABC}=\frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{BC}{\sin 30^{\circ }}\text{.}$ Значит,

$$2R=\frac{AC}{\sin \angle ABC}\sqrt{1+k^2-2k\cos 30^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 30^{\circ }}\sqrt{1+k^2-2k\cos 30^{\circ }}.$$

Подставляя $BC=5\sqrt{6}\text{,}$ $k=\frac{1}{\sqrt{6}}\text{,}$ $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\text{:}$

$$1+k^2-2k\cos 30^{\circ }=1+\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{7-3\sqrt{2}}{6},$$ $$2R=\frac{5\sqrt{6}}{1/2}\cdot \sqrt{\frac{7-3\sqrt{2}}{6}}=10\sqrt{6}\cdot \frac{\sqrt{7-3\sqrt{2}}}{\sqrt{6}}=10\sqrt{7-3\sqrt{2}},R=5\sqrt{7-3\sqrt{2}}.$$

Ответ: $BC=5\sqrt{6}\text{,}$ $R=5\sqrt{7-3\sqrt{2}}\text{.}$