б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если A = 30^, B_1C_1 = 5 и площадь треугольника AB_1C_1 в пять раз меньше площади четырёхугольника BCB_1C_1.

Пусть в треугольнике ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB и AC в точках C_1 и B_1 соответственно. Из подобия треугольников AB_1C_1 и ABC (доказанного в части а) имеем коэффициент подобия k = (B_1C_1)/(BC). Обозначим площадь треугольника AB_1C_1 через S_1, площадь четырёхугольника BCB_1C_1 через S_2. По условию S_2 = 5S_1, поэтому площадь треугольника ABC: S = S_1 + S_2 = 6S_1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: (S_1)/(S) = k^2 => k^2 = (S_1)/(6S_1) = (1)/(6) => k = (1)/(sqrt(6)) (так как k > 0). Следовательно, BC = (B_1C_1)/(k) = (5)/(1/sqrt(6)) = 5sqrt(6). Для нахождения радиуса r вписанной окружности найдём стороны треугольника ABC. Из подобия: (AB_1)/(AB) = (AC_1)/(AC) = k = (1)/(sqrt(6)). Пусть AB_1 = AC_1 = x. Тогда AB = AC = xsqrt(6). В треугольнике AB_1C_1 по теореме косинусов: B_1C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2 - 2 * AB_1 * AC_1 * cos A. Подставляем B_1C_1 = 5, A = 30^, cos 30^ = (sqrt(3))/(2): 5^2 = x^2 + x^2 - 2 * x * x * (sqrt(3))/(2) = 2x^2 - sqrt(3)x^2 = x^2(2 - sqrt(3)). Отсюда x^2 = (25)/(2 - sqrt(3)) = (25(2 + sqrt(3)))/((2 - sqrt(3))(2 + sqrt(3))) = 25(2 + sqrt(3)). Тогда стороны треугольника ABC: BC = a = 5sqrt(6), AC = b = xsqrt(6) = 5sqrt(6) * sqrt(2 + 3) = 5sqrt(12 + 63) = 5(3 + sqrt(3)) = 15 + 5sqrt(3), AB = c = 15 + 5sqrt(3). Площадь треугольника ABC: S = (1)/(2) bc sin A = (1)/(2) (15 + 5sqrt(3))^2 sin 30^ = (1)/(2) (300 + 150sqrt(3)) * (1)/(2) = (300 + 150sqrt(3))/(4) = 75 + (75sqrt(3))/(2). Полупериметр: p = (a + b + c)/(2) = (5sqrt(6) + 15 + 5sqrt(3) + 15 + 5sqrt(3))/(2) = (5sqrt(6) + 30 + 10sqrt(3))/(2). Радиус вписанной окружности: r = (S)/(p) = (75 + 75sqrt(3)2)/(5sqrt(6) + 30 + 10sqrt(3)2) = (150 + 75sqrt(3))/(5(sqrt(6) + 2sqrt(3) + 6)) = (15(2 + sqrt(3)))/(sqrt(6) + 2sqrt(3) + 6). Ответ: BC = 5sqrt(6), r = (15(2 + sqrt(3)))/(sqrt(6) + 2sqrt(3) + 6).

Длина стороны \(BC\): \(5\sqrt{6}\), радиус вписанной окружности: \(\frac{15(2+\sqrt{3}{)}}{\sqrt{6}+2\sqrt{3}+6}\).