Задача №15949

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A{B}_1{C}_1\text{.}$

б) Вычислите длину стороны $B_1{C}_1$ и радиус данной окружности, если $\angle A=120^{\circ }\text{,}$ $BC=10\sqrt{7}$ и площадь треугольника $A{B}_1{C}_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1\text{.}$

1. Так как точки $B,C,B_1,C_1$ лежат на одной окружности, четырёхугольник $BC{B}_1{C}_1$ является вписанным. В таком четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ следовательно, $\angle BC{B}_1+\angle B{C}_1{B}_1=180^{\circ }\text{.}$ Также угол $\angle A{C}_1{B}_1=180^{\circ }-\angle B{C}_1{B}_1\text{,}$ откуда следует, что $\angle A{C}_1{B}_1=\angle ACB\text{.}$ Аналогично, $\angle A{B}_1{C}_1=\angle ABC\text{.}$ Таким образом, треугольники $A{B}_1{C}_1$ и $ABC$ подобны по двум углам (угол $A$ — общий).

2. Пусть коэффициент подобия равен $k\text{.}$ Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A{B}_1{C}_1}}{S_{ABC}}=k^2$$

Из условия задачи площадь четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1$ в три раза больше площади треугольника $A{B}_1{C}_1\text{:}$

$$S_{BC{B}_1{C}_1}=3S_{A{B}_1{C}_1}$$

Так как точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах треугольника, площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольника $A{B}_1{C}_1$ и четырёхугольника $BC{B}_1{C}_1\text{:}$

$$S_{ABC}=S_{A{B}_1{C}_1}+S_{BC{B}_1{C}_1}=S_{A{B}_1{C}_1}+3S_{A{B}_1{C}_1}=4S_{A{B}_1{C}_1}$$

Следовательно, $k^2=\frac{1}{4}\text{,}$ откуда $k=\frac{1}{2}\text{.}$

3. Найдём длину стороны $B_1{C}_1\text{:}$

$$B_1{C}_1=k\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{7}=5\sqrt{7}$$

4. Для нахождения радиуса окружности, проходящей через точки $B,C,B_1,C_1\text{,}$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника $BC{C}_1\text{.}$ Радиус $R$ этой окружности равен:

$$R=\frac{BC}{2\sin \angle B{C}_{1}C}$$

Угол $\angle B{C}_{1}C=180^{\circ }-\angle A{C}_{1}C\text{.}$ Найдём синус угла $A{C}_{1}C$ из треугольника $AC{C}_1\text{.}$

Поскольку $k=\frac{1}{2}\text{,}$ имеем $A{C}_1=k\cdot AC=\frac{1}{2}AC\text{.}$ По теореме косинусов для $△AC{C}_1\text{:}$

$$C{C}_1^2=A{C}^2+A{C}_1^2-2AC\cdot A{C}_1\cdot \cos 120^{\circ }=A{C}^2+\frac{1}{4}A{C}^2-2AC\cdot \frac{1}{2}AC\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}A{C}^2$$ $$C{C}_1=\frac{\sqrt{7}}{2}AC$$

По теореме синусов в $△AC{C}_1\text{:}$

$$\frac{C{C}_1}{\sin 120^{\circ }}=\frac{AC}{\sin \angle A{C}_{1}C}\Rightarrow \sin \angle A{C}_{1}C=\frac{AC\cdot \sin 120^{\circ }}{C{C}_1}=\frac{AC\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}AC}=\sqrt{\frac{3}{7}}$$

Так как $\sin \angle B{C}_{1}C=\sin (180^{\circ }-\angle A{C}_{1}C)=\sin \angle A{C}_{1}C\text{,}$ получаем:

$$R=\frac{10\sqrt{7}}{2\cdot \sqrt{\frac{3}{7}}}=\frac{5\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{35}{\sqrt{3}}=\frac{35\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $B_1{C}_1=5\sqrt{7}\text{,}$ $R=\frac{35\sqrt{3}}{3}\text{.}$