б) Вычислите длину стороны B_1 C_1 и радиус данной окружности, если A = 120^ , BC = 10sqrt(7) и площадь треугольника AB_1 C_1 в три раза меньше площади четырёхугольника BCB_1 C_1 .

1. Так как точки B, C, B_1, C_1 лежат на одной окружности, четырёхугольник BCB_1 C_1 является вписанным. В таком четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180^ , следовательно, BCB_1 + BC_1 B_1 = 180^ . Также угол AC_1 B_1 = 180^ - BC_1 B_1 , откуда следует, что AC_1 B_1 = ACB . Аналогично, AB_1 C_1 = ABC . Таким образом, треугольники AB_1 C_1 и ABC подобны по двум углам (угол A — общий). 2. Пусть коэффициент подобия равен k . Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: (S_(AB_1 C_1))/(S_(ABC)) = k^2 Из условия задачи площадь четырёхугольника BCB_1 C_1 в три раза больше площади треугольника AB_1 C_1 : S_(BCB_1 C_1) = 3 S_(AB_1 C_1) Так как точки B_1 и C_1 лежат на сторонах треугольника, площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольника AB_1 C_1 и четырёхугольника BCB_1 C_1 : S_(ABC) = S_(AB_1 C_1) + S_(BCB_1 C_1) = S_(AB_1 C_1) + 3 S_(AB_1 C_1) = 4 S_(AB_1 C_1) Следовательно, k^2 = (1)/(4) , откуда k = (1)/(2) . 3. Найдём длину стороны B_1 C_1 : B_1 C_1 = k * BC = (1)/(2) * 10sqrt(7) = 5sqrt(7) 4. Для нахождения радиуса окружности, проходящей через точки B, C, B_1, C_1 , воспользуемся теоремой синусов для треугольника BCC_1 . Радиус R этой окружности равен: R = (BC)/(2sin BC_1 C) Угол BC_1 C = 180^ - AC_1 C . Найдём синус угла AC_1 C из треугольника ACC_1 . Поскольку k = (1)/(2) , имеем AC_1 = k * AC = (1)/(2) AC . По теореме косинусов для ACC_1 : CC_1^2 = AC^2 + AC_1^2 - 2 AC * AC_1 * cos 120^ = AC^2 + (1)/(4) AC^2 - 2 AC * (1)/(2) AC * ( -(1)/(2) ) = (7)/(4) AC^2 CC_1 = (sqrt(7))/(2) AC По теореме синусов в ACC_1 : (CC_1)/(sin 120^) = (AC)/(sin AC_1 C) => sin AC_1 C = (AC * sin 120^)/(CC_1) = (AC * sqrt(3)2)/(sqrt(7)2 AC) = sqrt((3)/(7)) Так как sin BC_1 C = sin (180^ - AC_1 C) = sin AC_1 C , получаем: R = (10sqrt(7))/(2 * sqrt(37)) = (5sqrt(7) * sqrt(7))/(sqrt(3)) = (35)/(sqrt(3)) = (35sqrt(3))/(3) Ответ: B_1 C_1 = 5sqrt(7) , R = (35sqrt(3))/(3) .

б) \( 5\sqrt{7} \); \( \dfrac{35\sqrt{3}}{3} \)