Задача №15487

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11?

в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Пусть числа в порядке возрастания: $a_1<a_2<\dots <a_{10}\text{.}$

Из условия:

$$a_1+a_2+\dots +a_6=30,a_5+a_6+\dots +a_{10}=90.$$

а) Предположим, что $a_1=3\text{.}$ Поскольку числа различные и натуральные, наименьшие шесть чисел должны быть как можно меньше. Если $a_1=3\text{,}$ то минимальная возможная сумма шести наименьших чисел достигается при $a_2=4,a_3=5,a_4=6,a_5=7,a_6=8\text{:}$

$$3+4+5+6+7+8=33>30.$$

Это противоречит условию $a_1+\dots +a_6=30\text{,}$ поэтому $a_1$ не может равняться 3.

б) Пусть среднее арифметическое всех десяти чисел равно 11, тогда сумма всех чисел $S=10\cdot 11=110\text{.}$

Из условий имеем:

$$a_5+a_6=30+90-110=10,$$ $$a_1+a_2+a_3+a_4=110-90=20.$$

Пары различных натуральных чисел $a_5,a_6$ с суммой 10: $(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)\text{.}$

В каждом случае $a_4<a_5\text{,}$ поэтому $a_1,a_2,a_3,a_4$ — четыре различных натуральных числа, меньших $a_5\text{.}$ Их сумма должна быть 20.

Например, для $a_5=4$ максимальная сумма четырёх чисел, меньших $a_5\text{,}$ равна $1+2+3+4=10\text{.}$ Поскольку для любого возможного $a_5$ максимальная сумма четырёх чисел, меньших $a_5\text{,}$ меньше 20, то условие невозможно. Следовательно, среднее арифметическое не может равняться 11.

в) Из условий следует:

$$a_5+a_6=120-S,$$ $$a_1+a_2+a_3+a_4=S-90,$$ $$a_7+a_8+a_9+a_{10}=S-30.$$

Также $a_5>a_4$ и $a_6<a_7\text{.}$

Чтобы максимизировать $S\text{,}$ нужно минимизировать $a_5+a_6\text{.}$

Из неравенств: поскольку числа различные и натуральные,

$$a_1+a_2+a_3+a_4\ge 1+2+3+4=10,$$

откуда $S\ge 90+10=100\text{.}$

Аналогично, $a_5+a_6\ge 5+6=11$ (минимальные различные натуральные с $a_5>a_4$), так что $S\le 120-11=109\text{.}$

Более точный анализ: выражая $S=120-(a_5+a_6)\text{,}$ и учитывая условия на $a_1,\dots ,a_4$ и $a_7,\dots ,a_{10}\text{,}$ находим, что минимальная возможная сумма $a_5+a_6$ при выполнении всех условий равна 15 (например, при $a_5=7\text{,}$ $a_6=8$). Тогда максимальный $S=120-15=105\text{.}$

Пример набора чисел: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 45. Их сумма равна 105, среднее арифметическое $105/10=10,5\text{.}$

Ответ:

а) Нет.

б) Нет.

в) $10,5\text{.}$