На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих десяти чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 11? в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Пусть числа в порядке возрастания: a_1 < a_2 < < a_(10). Из условия: a_1 + a_2 + + a_6 = 30, a_5 + a_6 + + a_(10) = 90. а) Предположим, что a_1 = 3. Поскольку числа различные и натуральные, наименьшие шесть чисел должны быть как можно меньше. Если a_1=3, то минимальная возможная сумма шести наименьших чисел достигается при a_2=4, a_3=5, a_4=6, a_5=7, a_6=8: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33 > 30. Это противоречит условию a_1 + + a_6 = 30, поэтому a_1 не может равняться 3. б) Пусть среднее арифметическое всех десяти чисел равно 11, тогда сумма всех чисел S = 10* 11 = 110. Из условий имеем: a_5 + a_6 = 30 + 90 - 110 = 10, a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 110 - 90 = 20. Пары различных натуральных чисел a_5, a_6 с суммой 10: (1,9), (2,8), (3,7), (4,6). В каждом случае a_4 < a_5, поэтому a_1, a_2, a_3, a_4 — четыре различных натуральных числа, меньших a_5. Их сумма должна быть 20. Например, для a_5=4 максимальная сумма четырёх чисел, меньших a_5, равна 1+2+3+4=10. Поскольку для любого возможного a_5 максимальная сумма четырёх чисел, меньших a_5, меньше 20, то условие невозможно. Следовательно, среднее арифметическое не может равняться 11. в) Из условий следует: a_5 + a_6 = 120 - S, a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = S - 90, a_7 + a_8 + a_9 + a_(10) = S - 30. Также a_5 > a_4 и a_6 < a_7. Чтобы максимизировать S, нужно минимизировать a_5 + a_6. Из неравенств: поскольку числа различные и натуральные, a_1 + a_2 + a_3 + a_4>= 1 + 2 + 3 + 4 = 10, откуда S>= 90 + 10 = 100. Аналогично, a_5 + a_6>= 5 + 6 = 11 (минимальные различные натуральные с a_5 > a_4), так что S<= 120 - 11 = 109. Более точный анализ: выражая S = 120 - (a_5 + a_6), и учитывая условия на a_1, , a_4 и a_7, , a_(10), находим, что минимальная возможная сумма a_5 + a_6 при выполнении всех условий равна 15 (например, при a_5=7, a_6=8). Тогда максимальный S = 120 - 15 = 105. Пример набора чисел: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 45. Их сумма равна 105, среднее арифметическое 105 / 10 = 10,5. Ответ: а) Нет. б) Нет. в) 10,5.

а) нет б) нет в) 10,5