Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой — 4? б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней? в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

а) Инвариант: сумма остатков количеств камней в коробках по модулю 3 постоянна. Начальные остатки: 101=== 2, 102=== 0, 103=== 1, 0=== 0, сумма 3=== 0 3. Для конфигурации (97, 102, 103, 4) остатки: 97=== 1, 102=== 0, 103=== 1, 4=== 1, сумма 3=== 0 3, инвариант выполняется. Также уравнения для числа ходов N и чисел добавлений x_i разрешимы: например, при N=4 получаем x_1=0, x_2=1, x_3=1, x_4=2, все целые неотрицательные. Значит, конфигурация достижима. б) Пусть в четвёртой коробке 306 камней, тогда остальные пусты. Из уравнений x_i = (конечное - начальное + N)/(4) получаем для второй коробки: x_2 = (0 - 102 + N)/(4), откуда N=== 102=== 2 4, для третьей: N=== 103=== 3 4. Одновременно эти сравнения невыполнимы, значит, такая конфигурация невозможна. в) Пусть N — число ходов, x_i — сколько раз коробку i выбирали для добавления. Тогда A = 101 + 4x_1 - N, B = 102 + 4x_2 - N, C = 103 + 4x_3 - N, D = 4x_4 - N. Максимизация A эквивалентна минимизации S = B + C + D. Исследуя остатки по модулю 4, находим, что минимальная S = 3 достигается при N=== 2 4, B = 0, C = 1, D = 2. Тогда A = 306 - 3 = 303. Пример реализации: сначала 26 ходов с добавлением в четвёртую коробку (изъятие из первых трёх), затем 76 ходов с добавлением в первую (изъятие из остальных). В процессе количества неотрицательны. Большее A невозможно, так как S>= 3. Ответ: а) Да, могло. б) Нет, не могло. в) 303.

а) да б) нет в) 303