Задача №15485

Ваня написал на доске трёхзначное число $A\text{.}$ Петя переписал это число $A\text{,}$ вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число $B\text{.}$ Коля тоже переписал это число $A\text{,}$ вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число $C\text{.}$

а) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C\text{,}$ если $A>150\text{?}$

б) Может ли быть верным равенство $A=B\cdot C\text{,}$ если $540⩽A<600\text{?}$

в) Найдите наибольшее число $A\text{,}$ для которого может быть верным равенство $A=B\cdot C\text{.}$

а) Рассмотрим число $A=180\text{.}$ Если вычеркнуть последнюю цифру, получим $B=18\text{.}$ Если вычеркнуть среднюю цифру, получим $C=10\text{.}$ Тогда $A=180=18\cdot 10\text{,}$ и $180>150\text{.}$ Следовательно, равенство может быть верным.

б) Пусть $540⩽A<600\text{.}$ Тогда первая цифра $A$ равна 5. При вычеркивании одной цифры из $A$ могут получиться только двузначные числа, не меньшие 40: если вычеркнуть первую цифру, получим число из двух последних цифр, которое не меньше 40 (так как вторая цифра не меньше 4); если вычеркнуть вторую или третью цифру, получим числа от 50 до 59 или от 54 до 59. Следовательно, для любых $B$ и $C\text{,}$ полученных таким образом, выполнено $B⩾40$ и $C⩾40\text{.}$ Тогда $B\cdot C⩾40\cdot 40=1600\text{.}$ Но $A<600\text{,}$ поэтому $B\cdot C>A\text{,}$ и равенство $A=B\cdot C$ невозможно.

в) Найдём наибольшее $A\text{.}$

Заметим, что число $A=910$ удовлетворяет условию: вычеркнем цифру 0, получим $B=91\text{;}$ вычеркнем цифру 9, получим $C=10\text{;}$ $91\cdot 10=910\text{.}$

Покажем, что чисел больше 910, удовлетворяющих условию, нет.

Предположим, что $A⩾911\text{.}$ Тогда первая цифра $A$ равна 9. Пусть $A=900+10b+c\text{,}$ где $b$ и $c$ — цифры, причём $b⩾1$ (так как $A⩾911$). Возможные двузначные числа, полученные вычеркиванием одной цифры из $A\text{:}$

• $X=10b+c$ (вычеркнуть первую цифру),
• $Y=90+c$ (вычеркнуть вторую цифру),
• $Z=90+b$ (вычеркнуть третью цифру).

Тогда $A$ должно равняться произведению двух из этих чисел (возможно, одинаковых). Рассмотрим случаи.

1. Если $B=C=X\text{,}$ то $A=X^2\text{.}$ Тогда $900+10b+c=(10b+c{)}^2\text{.}$ Пусть $d=10b+c\text{.}$ Уравнение $d^2=900+d$ или $d^2-d-900=0$ не имеет целых решений (дискриминант 3601 не является полным квадратом, проверка $d=30,31$ не даёт равенства).

2. Если $B$ и $C$ различны. Поскольку $A⩽999\text{,}$ а $Y⩾90\text{,}$ $Z⩾90\text{,}$ то случай $A=Y\cdot Z$ невозможен, так как $Y\cdot Z⩾90\cdot 90=8100>999\text{.}$

Остаются случаи $A=X\cdot Y$ или $A=X\cdot Z\text{.}$

• Для $A=X\cdot Y=(10b+c)(90+c)$ и $A=900+10b+c\text{.}$ При $b⩾2$ правая часть $X\cdot Y⩾900b⩾1800\text{,}$ что больше $A⩽999\text{.}$ При $b=1$ уравнение сводится к $c^2+99c-10=0\text{,}$ которое не имеет целых решений для $c$ от 0 до 9.

• Для $A=X\cdot Z=(10b+c)(90+b)$ и $A=900+10b+c\text{.}$ При $b⩾2$ правая часть $⩾1800\text{,}$ что больше $A\text{.}$ При $b=1$ уравнение даёт $910+c=910+91c\text{,}$ откуда $c=0\text{.}$ Тогда $A=910\text{,}$ что не удовлетворяет $A⩾911\text{.}$

Таким образом, при $A⩾911$ равенство $A=B\cdot C$ невозможно. Следовательно, наибольшее $A$ равно 910.

Ответ:

а) Может быть верным (например, для $A=180$).

б) Не может быть верным.

в) 910.