Ваня написал на доске трёхзначное число A. Петя переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число B. Коля тоже переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру (возможно, ту же самую, что и Петя) и получил двузначное число C. а) Может ли быть верным равенство A = B* C, если A > 150? б) Может ли быть верным равенство A = B* C, если 540 A < 600? в) Найдите наибольшее число A, для которого может быть верным равенство A = B* C.

а) Рассмотрим число A = 180 . Если вычеркнуть последнюю цифру, получим B = 18 . Если вычеркнуть среднюю цифру, получим C = 10 . Тогда A = 180 = 18* 10 , и 180 > 150 . Следовательно, равенство может быть верным. б) Пусть 540 A < 600 . Тогда первая цифра A равна 5. При вычеркивании одной цифры из A могут получиться только двузначные числа, не меньшие 40: если вычеркнуть первую цифру, получим число из двух последних цифр, которое не меньше 40 (так как вторая цифра не меньше 4); если вычеркнуть вторую или третью цифру, получим числа от 50 до 59 или от 54 до 59. Следовательно, для любых B и C , полученных таким образом, выполнено B 40 и C 40 . Тогда B* C 40* 40 = 1600 . Но A < 600 , поэтому B* C > A , и равенство A = B* C невозможно. в) Найдём наибольшее A . Заметим, что число A = 910 удовлетворяет условию: вычеркнем цифру 0, получим B = 91 ; вычеркнем цифру 9, получим C = 10 ; 91* 10 = 910 . Покажем, что чисел больше 910, удовлетворяющих условию, нет. Предположим, что A 911 . Тогда первая цифра A равна 9. Пусть A = 900 + 10b + c , где b и c — цифры, причём b 1 (так как A 911 ). Возможные двузначные числа, полученные вычеркиванием одной цифры из A : - X = 10b + c (вычеркнуть первую цифру), - Y = 90 + c (вычеркнуть вторую цифру), - Z = 90 + b (вычеркнуть третью цифру). Тогда A должно равняться произведению двух из этих чисел (возможно, одинаковых). Рассмотрим случаи. 1. Если B = C = X , то A = X^2 . Тогда 900 + 10b + c = (10b + c)^2 . Пусть d = 10b + c . Уравнение d^2 = 900 + d или d^2 - d - 900 = 0 не имеет целых решений (дискриминант 3601 не является полным квадратом, проверка d = 30, 31 не даёт равенства). 2. Если B и C различны. Поскольку A 999 , а Y 90 , Z 90 , то случай A = Y* Z невозможен, так как Y* Z 90* 90 = 8100 > 999 . Остаются случаи A = X* Y или A = X* Z . - Для A = X* Y = (10b + c)(90 + c) и A = 900 + 10b + c . При b 2 правая часть X* Y 900b 1800 , что больше A 999 . При b = 1 уравнение сводится к c^2 + 99c - 10 = 0 , которое не имеет целых решений для c от 0 до 9. - Для A = X* Z = (10b + c)(90 + b) и A = 900 + 10b + c . При b 2 правая часть 1800 , что больше A . При b = 1 уравнение даёт 910 + c = 910 + 91c , откуда c = 0 . Тогда A = 910 , что не удовлетворяет A 911 . Таким образом, при A 911 равенство A = B* C невозможно. Следовательно, наибольшее A равно 910. Ответ: а) Может быть верным (например, для A = 180 ). б) Не может быть верным. в) 910.

\(\text{\text{а) } да},\text{ например},180 \text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }910\)