Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй — 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов. а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй — 89, а в третьей — 15? б) Мог ли в третьей коробке оказаться 201 камень? в) В первой коробке оказался 1 камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Общее число камней постоянно: 97+104+0=201. За один ход из двух коробок берут по 1 камню, в третью добавляют 2. Инвариант: разность чисел камней в любых двух коробках сравнима по модулю 3 с начальной разностью. Начальные разности: 97-104=== -7=== 2+- od3, 97-0=== 1+- od3, 104-0=== 2+- od3. а) Проверим состояние (97,89,15): сумма 201, разности: 97-89=8=== 2+- od3, 97-15=82=== 1+- od3, 89-15=74=== 2+- od3 — инварианты соблюдаются. Покажем явную последовательность ходов: сделаем 10 ходов типа «из первой и второй кладём в третью»: (97,104,0) → после 10 ходов: (87,94,20). Затем 5 ходов типа «из второй и третьей кладём в первую»: (87,94,20) → после 5 ходов: (97,89,15). Все ходы возможны, так как количества неотрицательны. б) Состояние (0,0,201): разность первой и второй 0-0=0=== 0+- od3, но начальная разность 97-104=== 2+- od3, противоречие. в) Пусть в конце в первой коробке 1 камень, во второй b, в третьей c. Тогда 1+b+c=201, откуда c=200-b. Инвариант: 1-b=== 97-104=== 2+- od3, поэтому b=== 2+- od3. Максимизируем c — минимизируем b. Наименьшее возможное b=2, тогда c=198. Покажем достижимость: можно подобрать количества ходов. Пусть x — число ходов типа «из второй и третьей в первую», y — «из первой и третьей во вторую», z — «из первой и второй в третью». Решая систему, получаем b = 8 - 3(x-y), c = 192 + 3(x-y). При x-y=2 имеем b=2, c=198. Пример последовательности: 96 ходов z, затем 1 ход x, затем 3 хода z, затем 1 ход x, затем 1 ход z. Все промежуточные количества неотрицательны. Ответ: а) да б) нет в) 198

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }198\)