Задача №15483

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?

в) Пусть $B$ — шестое по величине число, а $S$ — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения $S-B\text{.}$

Обозначим числа в порядке возрастания: $a_1<a_2<\cdots <a_{11}\text{.}$

Среднее арифметическое шести наименьших:

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_6}{6}=5,$$

откуда

$$a_1+a_2+\cdots +a_6=30.$$

Среднее арифметическое шести наибольших:

$$\frac{a_6+a_7+\cdots +a_{11}}{6}=15,$$

откуда

$$a_6+a_7+\cdots +a_{11}=90.$$

Тогда общая сумма всех одиннадцати чисел:

$$S_{\text{sum}}=(a_1+\cdots +a_6)+(a_7+\cdots +a_{11})=30+90-a_6=120-a_6.$$

а) Предположим, что наименьшее число $a_1=3\text{.}$ Тогда сумма $a_2+a_3+\cdots +a_6=30-3=27\text{.}$

Минимальная сумма пяти различных натуральных чисел, больших 3, достигается при $4,5,6,7,8$ и равна $4+5+6+7+8=30\text{.}$ Так как $30>27\text{,}$ такая сумма невозможна.

Следовательно, $a_1$ не может равняться 3.

б) Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 9. Тогда общая сумма $S_{\text{sum}}=11\times 9=99\text{.}$

Из равенства $S_{\text{sum}}=120-a_6$ получаем $120-a_6=99\text{,}$ откуда $a_6=21\text{.}$

Тогда сумма пяти наименьших чисел $a_1+a_2+\cdots +a_5=30-21=9\text{.}$

Минимальная сумма пяти различных натуральных чисел равна $1+2+3+4+5=15\text{.}$ Так как $15>9\text{,}$ такая сумма невозможна.

Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может равняться 9.

в) Среднее арифметическое всех чисел:

$$S=\frac{S_{\text{sum}}}{11}=\frac{120-a_6}{11}.$$

Шестое по величине число $B=a_6\text{.}$ Тогда

$$S-B=\frac{120-a_6}{11}-a_6=\frac{120-a_6-11a_6}{11}=\frac{120-12a_6}{11}=\frac{12(10-a_6)}{11}.$$

Выражение $S-B$ убывает с ростом $a_6\text{,}$ поэтому наибольшее значение достигается при минимальном возможном $a_6\text{.}$

Найдем минимальное значение $a_6\text{.}$ Из условия $a_1+a_2+\cdots +a_6=30\text{.}$ При фиксированном $a_6$ сумма $a_1+\cdots +a_5=30-a_6\text{.}$

Максимальная сумма пяти различных натуральных чисел, меньших $a_6\text{,}$ равна $(a_6-1)+(a_6-2)+(a_6-3)+(a_6-4)+(a_6-5)=5a_6-15\text{.}$

Для существования таких чисел необходимо, чтобы $30-a_6⩽5a_6-15\text{.}$ Решим это неравенство:

$$30-a_6⩽5a_6-15\Rightarrow 30+15⩽5a_6+a_6\Rightarrow 45⩽6a_6\Rightarrow a_6⩾\frac{45}{6}=\mathrm{7.5.}$$

Так как $a_6$ — натуральное число, то $a_6⩾8\text{.}$

Проверим, возможно ли $a_6=8\text{.}$ Если $a_6=8\text{,}$ то $a_1+\cdots +a_5=30-8=22\text{.}$ Пример набора: $a_1=1,a_2=3,a_3=5,a_4=6,a_5=7,a_6=8\text{.}$ Сумма шести наименьших: $1+3+5+6+7+8=30\text{,}$ что верно.

Для оставшихся чисел: $a_7,a_8,a_9,a_{10},a_{11}$ должны быть различными натуральными числами, большими 8, и их сумма должна быть $90-8=82\text{.}$ Пример: $a_7=9,a_8=10,a_9=11,a_{10}=12,a_{11}=40\text{.}$ Сумма: $9+10+11+12+40=82\text{.}$

Таким образом, $a_6=8$ достижимо.

При $a_6=7$ сумма $a_1+\cdots +a_5=30-7=23\text{,}$ но максимальная сумма пяти чисел, меньших 7, равна $6+5+4+3+2=20<23\text{,}$ что невозможно.

Следовательно, минимальное значение $a_6=8\text{.}$

Тогда наибольшее значение выражения $S-B\text{:}$

$$S-B=\frac{12(10-8)}{11}=\frac{12\times 2}{11}=\frac{24}{11}.$$

Ответ:

а) Нет, не может.

б) Нет, не может.

в) $\frac{24}{11}$