На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9? в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения S - B.

Обозначим числа в порядке возрастания: a_1 < a_2 < < a_(11) . Среднее арифметическое шести наименьших: (a_1 + a_2 + + a_6)/(6) = 5, откуда a_1 + a_2 + + a_6 = 30. Среднее арифметическое шести наибольших: (a_6 + a_7 + + a_(11))/(6) = 15, откуда a_6 + a_7 + + a_(11) = 90. Тогда общая сумма всех одиннадцати чисел: S_(sum) = (a_1 + + a_6) + (a_7 + + a_(11)) = 30 + 90 - a_6 = 120 - a_6. а) Предположим, что наименьшее число a_1 = 3 . Тогда сумма a_2 + a_3 + + a_6 = 30 - 3 = 27 . Минимальная сумма пяти различных натуральных чисел, больших 3, достигается при 4, 5, 6, 7, 8 и равна 4+5+6+7+8 = 30 . Так как 30 > 27 , такая сумма невозможна. Следовательно, a_1 не может равняться 3. б) Предположим, что среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равно 9. Тогда общая сумма S_(sum) = 11* 9 = 99 . Из равенства S_(sum) = 120 - a_6 получаем 120 - a_6 = 99 , откуда a_6 = 21 . Тогда сумма пяти наименьших чисел a_1 + a_2 + + a_5 = 30 - 21 = 9 . Минимальная сумма пяти различных натуральных чисел равна 1+2+3+4+5 = 15 . Так как 15 > 9 , такая сумма невозможна. Следовательно, среднее арифметическое всех чисел не может равняться 9. в) Среднее арифметическое всех чисел: S = (S_(sum))/(11) = (120 - a_6)/(11). Шестое по величине число B = a_6 . Тогда S - B = (120 - a_6)/(11) - a_6 = (120 - a_6 - 11a_6)/(11) = (120 - 12a_6)/(11) = (12(10 - a_6))/(11). Выражение S - B убывает с ростом a_6 , поэтому наибольшее значение достигается при минимальном возможном a_6 . Найдем минимальное значение a_6 . Из условия a_1 + a_2 + + a_6 = 30 . При фиксированном a_6 сумма a_1 + + a_5 = 30 - a_6 . Максимальная сумма пяти различных натуральных чисел, меньших a_6 , равна (a_6 - 1) + (a_6 - 2) + (a_6 - 3) + (a_6 - 4) + (a_6 - 5) = 5a_6 - 15 . Для существования таких чисел необходимо, чтобы 30 - a_6 5a_6 - 15 . Решим это неравенство: 30 - a_6 5a_6 - 15=> 30 + 15 5a_6 + a_6=> 45 6a_6=> a_6 (45)/(6) = 7.5. Так как a_6 — натуральное число, то a_6 8 . Проверим, возможно ли a_6 = 8 . Если a_6 = 8 , то a_1 + + a_5 = 30 - 8 = 22 . Пример набора: a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 5, a_4 = 6, a_5 = 7, a_6 = 8 . Сумма шести наименьших: 1+3+5+6+7+8 = 30 , что верно. Для оставшихся чисел: a_7, a_8, a_9, a_(10), a_(11) должны быть различными натуральными числами, большими 8, и их сумма должна быть 90 - 8 = 82 . Пример: a_7 = 9, a_8 = 10, a_9 = 11, a_(10) = 12, a_(11) = 40 . Сумма: 9+10+11+12+40 = 82 . Таким образом, a_6 = 8 достижимо. При a_6 = 7 сумма a_1 + + a_5 = 30 - 7 = 23 , но максимальная сумма пяти чисел, меньших 7, равна 6+5+4+3+2 = 20 < 23 , что невозможно. Следовательно, минимальное значение a_6 = 8 . Тогда наибольшее значение выражения S - B : S - B = (12(10 - 8))/(11) = (12* 2)/(11) = (24)/(11). Ответ: а) Нет, не может. б) Нет, не может. в) (24)/(11)

а) нет б) нет в) \( \dfrac{24}{11} \)