На доске записано некоторое количество последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять делятся на 20. а) Могло ли среди записанных чисел быть больше пяти чисел, делящихся на 21? б) Могло ли среди записанных чисел быть меньше пяти чисел, делящихся на 15? в) Найдите наибольшее возможное число k такое, что среди записанных чисел больше пяти чисел делятся на k.
а) Рассмотрим числа от 21 до 139. Среди них кратных 20: 40, 60, 80, 100, 120 — ровно пять. Кратных 21: 21, 42, 63, 84, 105, 126 — шесть. Значит, могло. б) Пусть записаны последовательные числа от m до n, длина L = n - m + 1. Так как кратных 20 ровно пять, то 81 L 119. Для любого отрезка длины L количество чисел, кратных 15, равно либо (L)/(15), либо (L)/(15) + 1. При L 81 имеем (L)/(15) 5, поэтому количество кратных 15 не меньше пяти. Значит, меньше пяти быть не может. в) Наибольшее k должно удовлетворять условию: существует отрезок с ровно пятью кратными 20 и более чем пятью кратными k. Так как длина отрезка L 119, для появления более пяти кратных k необходимо 5k + 1 L 119, откуда k 23. При k = 23 построим пример: числа от 23 до 138. Длина 116, кратных 20: 40, 60, 80, 100, 120 — пять; кратных 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138 — шесть. Для k = 24 минимальная длина для шести кратных равна 121 > 119, поэтому больше пяти кратных 24 быть не может. Значит, наибольшее k = 23. Ответ: а) могло б) не могло в) 23
а) да
б) нет
в) 23