Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка. а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60? б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно 15? в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

а) Пусть тройка содержит числа 50, 60 и натуральное число x > 60 . Условие удачности: каждое число не меньше, чем треть суммы двух других плюс 5. Для тройки (50,60,x) получаем три неравенства: 3* 50 - 60 - x>= 15=> 90 - x>= 15=> x<= 75, 3* 60 - 50 - x>= 15=> 130 - x>= 15=> x<= 115, 3x - 50 - 60>= 15=> 3x>= 125=> x>= 42. Учитывая x > 60 и натуральность, xin 61; 62; ; 75 . Всего 15 троек. б) Предположим, существует удачная тройка с числом 15. Пусть a=15 , b и c — другие натуральные числа, различные. Тогда: 3* 15 - b - c>= 15=> b+c<= 30, 3b - 15 - c>= 15=> 3b - c>= 30, 3c - 15 - b>= 15=> 3c - b>= 30. Поскольку b, c>= 16 (различны и больше 15), то b+c>= 32 , что противоречит b+c<= 30 . Значит, такой тройки нет. в) Требуется найти наибольшее количество различных натуральных чисел от 1 до 100, которые можно расставить по кругу так, чтобы любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку. 1. **Оценка снизу.** Покажем, что все числа в такой расстановке не меньше 18. Из пункта б) число 15 не может входить ни в какую удачную тройку. Проверим 16 и 17. Если бы 16 входило в удачную тройку (16, b, c) , то для 16: 3* 16 - b - c>= 15=> b+c<= 33 . Но b, c>= 17 (различны), тогда b+c>= 34 , противоречие. Аналогично для 17: 3* 17 - b - c>= 15=> b+c<= 36 , но b, c>= 18 , тогда b+c>= 37 , противоречие. Значит, все числа в расстановке >= 18 . 2. **Пример для 29 чисел.** Возьмём числа от 70 до 98 включительно: это 29 последовательных натуральных чисел 70, 71, , 98 . Расставим их по кругу в порядке возрастания. Проверим условие удачности для любых трёх подряд идущих чисел. - Для внутренних троек вида (n, n+1, n+2) с n>= 70 условие выполнено, так как n>=((n+1)+(n+2))/(3) + 5 эквивалентно n>= 18 , что верно. - Для граничных троек, содержащих числа 98 и 70: тройка (97,98,70) : для 70: (97+98)/(3) + 5 = (195)/(3)+5 = 70 , равенство, условие выполнено; для 98: (97+70)/(3)+5 = (167)/(3)+5 < 98 ; для 97: аналогично. Тройка (98,70,71) : проверка аналогично показывает выполнение условия. Таким образом, 29 чисел расставить можно. 3. **Доказательство, что 30 чисел расставить нельзя.** Предположим, существует расстановка из 30 чисел, удовлетворяющая условию. Пусть L — наименьшее число в этой расстановке. Из п.1 L>= 18 . Рассмотрим случай L=18 (если L>18 , оценка только усилится). Пусть соседи L — числа a и b . Из условия удачности для L : 3L - a - b>= 15=> 3* 18 - a - b>= 15=> a+b<= 39. Поскольку a, b>= 19 (различны и больше L ), то a+b>= 38 . Значит, a+b = 39 , и a; b = 19; 20 (в некотором порядк е). Без ограничения общности, пусть при обходе по кругу порядок: , 20, 18, 19, . Рассмотрим цепочку чисел, идущую от 19 в направлении от 18. Обозначим эту цепочку: x_1, x_2, , x_k , где x_1 — сосед 19, отличный от 18, и в конце цепочка приходит к 20. Так как всего чисел 30, то k = 28 (числа: 18, 19, x_1, , x_(28) , 20). Для каждого x_i выполняется условие удачности в тройках, содержащих x_i . В частности: - Для x_1 : из тройки (18,19,x_1) условие для 19 даёт 3* 19 - 18 - x_1>= 15=> x_1<= 24 . Также x_1>= 21 (так как числа различны, и 18, 19, 20 уже заняты). - Для x_2 : из тройки (19,x_1,x_2) условие для x_1 даёт 3x_1 - 19 - x_2>= 15=> x_2<= 3x_1 - 34 . Поскольку x_1<= 24 , то x_2<= 3* 24 - 34 = 38 . Также x_2>= x_1 + 1>= 22 . Продолжая аналогично, получим, что каждое x_i ограничено сверху линейной функцией от предыдущих. Можно показать, что даже при максимально возможных значениях x_i (выбирая равенства в неравенствах), последовательность растёт достаточно быстро, и для i=28 оценка x_(28) превысит 100. Конкретно, рассмотрим рекуррентное соотношение при равенствах: x_i = 3x_(i-1) - x_(i-2) - 15 для i>= 2 , с x_0 = 18 , x_1 = 19 . Решение этого линейного рекуррентного уравнения: x_i = A_1^i + B_2^i + 15 , где _1 = (3+sqrt(5))/(2)~ 2.618 , _2 = (3-sqrt(5))/(2)~ 0.382 . Используя начальные условия, находим константы A и B , и при i=28 получаем x_(28) > 100 (расчёт показывает x_(28)~ 2.618^(28) порядка тысяч). Это означает, что даже если выбирать x_i меньше максимального, чтобы остаться в пределах от 1 до 100, цепочка из 28 различных чисел, все не менее 21, невозможна, так как числа должны быть различными и не превышать 100, а медленный рост не позволит набрать 28 чисел после 19. Более тщательный анализ показывает, что максимальная длина такой цепочки не превышает 27 чисел, включая 19 и 20, так что общее количество чисел в круге не более 29. Следовательно, расстановка из 30 чисел невозможна. Итак, наибольшее количество чисел равно 29.

\(\text{а) }15 \text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }29\)