В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза? б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1? в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

а) Пусть в школе №1 изначально n учащихся, сумма баллов S_1 , средний балл A_1 = (S_1)/(n) (цело е). После перехода учащегося с баллом x в школу №2 в школе №1 остаётся n-1 учащихся, новый средний балл A_1' = (S_1 - x)/(n-1) . Условие A_1' = 2A_1 приводит к уравнению (S_1 - x)/(n-1) = (2S_1)/(n) . Выражая x , получаем x = A_1(2-n) . Поскольку x — натуральное число, при n 2 выражение A_1(2-n) 0 , а при n=2 получаем x=0 , что не является натуральным. Следовательно, средний балл в школе №1 не мог вырасти в 2 раза. б) Пусть в школе №2 первоначальный средний балл A_2=1 , m учащихся, сумма баллов S_2 = m . После перехода учащегося с баллом x из школы №1 в школу №2 новые средние баллы выросли на 10%: A_1' = 1.1A_1 , A_2' = 1.1 . Из условия для школы №2: (m+x)/(m+1) = 1.1 , откуда x = (m+11)/(10) . Так как x натуральное, m+11 делится на 10, т.е. m=== 9+- od10 . Из условия для школы №1 получаем A_1(11-n) = 10x , где n = 51-m . Подставляя x , имеем A_1(m-40) = m+11 . Перебирая возможные m=9,19,29,39,49 , получаем, что A_1 либо отрицательно, либо нецелое. Значит, такой ситуации быть не может. в) Пусть в школе №1 n учащихся, средний балл A_1 ; в школе №2 m учащихся, средний балл A_2 . После перехода учащегося с баллом x средние баллы выросли на 10% в обеих школах. Получаем систему: A_1(m-40) = 10x, A_2(m+11) = 10x, где n = 51-m , m > 40 (из положительности отношений). Исключая x , имеем A_1(m-40) = A_2(m+11) . Для каждого m от 41 до 49 находим минимальное целое A_2 , при котором A_1 целое и выполняются условия делимости. Наименьшее значение A_2=3 достигается при m=49 : тогда A_1=20 , x=18 , n=2 . Проверка подтверждает выполнение условий. Ответ: а) Нет, не мог. б) Нет, не мог. в) 3.

а) нет б) нет в) 3