Задача №15480

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?

б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

а) Пусть в школе №1 изначально $n$ учащихся, сумма баллов $S_1\text{,}$ средний балл $A_1=\frac{S_1}{n}$ (цело

е).

После перехода учащегося с баллом $x$ в школу №2 в школе №1 остаётся $n-1$ учащихся, новый средний балл $A_1^{\prime }=\frac{S_1-x}{n-1}\text{.}$

Условие $A_1^{\prime }=2A_1$ приводит к уравнению $\frac{S_1-x}{n-1}=\frac{2S_1}{n}\text{.}$

Выражая $x\text{,}$ получаем $x=A_1(2-n)\text{.}$

Поскольку $x$ — натуральное число, при $n⩾2$ выражение $A_1(2-n)⩽0\text{,}$ а при $n=2$ получаем $x=0\text{,}$ что не является натуральным.

Следовательно, средний балл в школе №1 не мог вырасти в 2 раза.

б) Пусть в школе №2 первоначальный средний балл $A_2=1\text{,}$ $m$ учащихся, сумма баллов $S_2=m\text{.}$

После перехода учащегося с баллом $x$ из школы №1 в школу №2 новые средние баллы выросли на 10%: $A_1^{\prime }=1.1A_1\text{,}$ $A_2^{\prime }=1.1\text{.}$

Из условия для школы №2: $\frac{m+x}{m+1}=1.1\text{,}$ откуда $x=\frac{m+11}{10}\text{.}$

Так как $x$ натуральное, $m+11$ делится на 10, т.е. $m\equiv 9(\mathrm{mod}10)\text{.}$

Из условия для школы №1 получаем $A_1(11-n)=10x\text{,}$ где $n=51-m\text{.}$

Подставляя $x\text{,}$ имеем $A_1(m-40)=m+11\text{.}$

Перебирая возможные $m=9,19,29,39,49\text{,}$ получаем, что $A_1$ либо отрицательно, либо нецелое.

Значит, такой ситуации быть не может.

в) Пусть в школе №1 $n$ учащихся, средний балл $A_1\text{;}$ в школе №2 $m$ учащихся, средний балл $A_2\text{.}$

После перехода учащегося с баллом $x$ средние баллы выросли на 10% в обеих школах. Получаем систему:

$$A_1(m-40)=10x,A_2(m+11)=10x,$$

где $n=51-m\text{,}$ $m>40$ (из положительности отношений).

Исключая $x\text{,}$ имеем $A_1(m-40)=A_2(m+11)\text{.}$

Для каждого $m$ от 41 до 49 находим минимальное целое $A_2\text{,}$ при котором $A_1$ целое и выполняются условия делимости.

Наименьшее значение $A_2=3$ достигается при $m=49\text{:}$ тогда $A_1=20\text{,}$ $x=18\text{,}$ $n=2\text{.}$

Проверка подтверждает выполнение условий.

Ответ:

а) Нет, не мог.

б) Нет, не мог.

в) 3.