На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
а) Рассмотрим пять чисел: 6, 7, 8, 9, 10. Проверим попарные произведения: наименьшее 6⋅7=42>40, наибольшее 9⋅10=90<100. Все произведения лежат в интервале (40;100). Значит, пять чисел могут быть.
б) Предположим, существует шесть различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию. Упорядочим их по возрастанию: a1<a2<a3<a4<a5<a6. Тогда a1⋅a2>40 и a5⋅a6<100.
Оценим a6: из a1⋅a6>40 следует a6>a140.
При a1⩽5 получаем a6>8, но тогда a5⩾a6−1 и a5⋅a6⩾(a6−1)a6.
Для a1=5: минимальные возможные a2⩾9, a3⩾10, a4⩾11, a5⩾12, a6⩾13, тогда a5⋅a6⩾12⋅13=156>100.
При a1=6: a2⩾7, a3⩾8, a4⩾9, a5⩾10, a6⩾11, тогда a5⋅a6⩾10⋅11=110>100.
При a1⩾7: a2⩾8, a3⩾9, a4⩾10, a5⩾11, a6⩾12, тогда a5⋅a6⩾11⋅12=132>100.
Во всех случаях произведение двух наибольших чисел превышает 100. Противоречие. Значит, шести чисел быть не может.
в) Найдём четыре различных натуральных числа a<b<c<d, для которых все попарные произведения лежат в интервале (40;100), и сумма S=a+b+c+d максимальна.
Из условия c⋅d<100 следует, что наиболее близкая пара (c,d) с большой суммой — это (9,11), так как 9⋅11=99<100.
При этом a и b должны быть меньше 9 и удовлетворять a⋅b>40. Максимальную сумму даёт пара (7,8): 7⋅8=56>40.
Получаем набор {7,8,9,11} с суммой 35.
Попытки увеличить сумму приводят к нарушению условий: например, набор {7,8,10,11} даёт 10⋅11=110>100; набор {7,9,10,11} даёт 10⋅11=110>100; набор {8,9,10,11} даёт 10⋅11=110>100. Наборы с меньшими c и d (например, {6,7,8,12}) имеют меньшую сумму.
Следовательно, наибольшая возможная сумма равна 35.
Ответ:
а) да
б) нет
в) 35
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ФИПИ