На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

а) Рассмотрим пять чисел: 6, 7, 8, 9, 10. Проверим попарные произведения: наименьшее 6* 7 = 42 > 40 , наибольшее 9* 10 = 90 < 100 . Все произведения лежат в интервале (40; 100) . Значит, пять чисел могут быть. б) Предположим, существует шесть различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию. Упорядочим их по возрастанию: a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < a_6 . Тогда a_1* a_2 > 40 и a_5* a_6 < 100 . Оценим a_6 : из a_1* a_6 > 40 следует a_6 > (40)/(a_1) . При a_1 5 получаем a_6 > 8 , но тогда a_5 a_6 - 1 и a_5* a_6 (a_6 - 1) a_6 . Для a_1 = 5 : минимальные возможные a_2 9 , a_3 10 , a_4 11 , a_5 12 , a_6 13 , тогда a_5* a_6 12* 13 = 156 > 100 . При a_1 = 6 : a_2 7 , a_3 8 , a_4 9 , a_5 10 , a_6 11 , тогда a_5* a_6 10* 11 = 110 > 100 . При a_1 7 : a_2 8 , a_3 9 , a_4 10 , a_5 11 , a_6 12 , тогда a_5* a_6 11* 12 = 132 > 100 . Во всех случаях произведение двух наибольших чисел превышает 100. Противоречие. Значит, шести чисел быть не может. в) Найдём четыре различных натуральных числа a < b < c < d , для которых все попарные произведения лежат в интервале (40; 100) , и сумма S = a + b + c + d максимальна. Из условия c* d < 100 следует, что наиболее близкая пара (c, d) с большой суммой — это (9, 11) , так как 9* 11 = 99 < 100 . При этом a и b должны быть меньше 9 и удовлетворять a* b > 40 . Максимальную сумму даёт пара (7, 8) : 7* 8 = 56 > 40 . Получаем набор 7, 8, 9, 11 с суммой 35. Попытки увеличить сумму приводят к нарушению условий: например, набор 7, 8, 10, 11 даёт 10* 11 = 110 > 100 ; набор 7, 9, 10, 11 даёт 10* 11 = 110 > 100 ; набор 8, 9, 10, 11 даёт 10* 11 = 110 > 100 . Наборы с меньшими c и d (например, 6, 7, 8, 12 ) имеют меньшую сумму. Следовательно, наибольшая возможная сумма равна 35. Ответ: а) да б) нет в) 35

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }35\)