Задача №15475

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Пусть числа в порядке возрастания: $a_1<a_2<\dots <a_n\text{.}$ Из условия: для любых $i<j$ выполняется $60<a_i{a}_j<140\text{.}$

а) Рассмотрим набор $\{7;9;10;11;12\}\text{.}$ Проверим произведения всех пар:
$7\cdot 9=63\text{,}$ $7\cdot 10=70\text{,}$ $7\cdot 11=77\text{,}$ $7\cdot 12=84\text{,}$ $9\cdot 10=90\text{,}$ $9\cdot 11=99\text{,}$ $9\cdot 12=108\text{,}$ $10\cdot 11=110\text{,}$ $10\cdot 12=120\text{,}$ $11\cdot 12=132\text{.}$
Все произведения лежат в интервале $(60;140)\text{.}$ Значит, 5 чисел могут быть на доске. Другой пример: $\{8;9;10;11;12\}\text{.}$

б) Докажем, что 6 чисел быть не может. Пусть $a_1$ — наименьшее число. Для любого $j\ge 2\text{:}$

$$60<a_1{a}_j<140\Rightarrow a_j>\frac{60}{a_1}\text{ и }{a}_j<\frac{140}{a_1}.$$

Также для двух наибольших чисел: $a_{n-1}{a}_n<140\text{.}$
Переберём возможные $a_1\text{:}$

• Если $a_1\le 6\text{,}$ то $a_j>10\text{,}$ т.е. все числа, кроме $a_1\text{,}$ не меньше 11. Тогда для шести чисел $a_2,\dots ,a_6$ все не меньше 11, и произведение двух наибольших из них будет не меньше $15\cdot 16=240>140$ (поскольку шесть различных чисел, начиная с 11, включают как минимум 15 и 16), что противоречит условию.
• Если $a_1=7$ или $a_1=8\text{,}$ максимальное количество чисел, как показано в пункте а), равно 5 (например, наборы $\{7;9;10;11;12\}$ и $\{8;9;10;11;12\}$). Попытка добавить шестое число приводит к нарушению условия: например, для $a_1=7$ добавление 13 даёт $12\cdot 13=156>140\text{.}$
• Если $a_1\ge 9\text{,}$ то $a_j<140/9<16\text{,}$ т.е. числа не превышают 15. Максимальное количество различных чисел от $a_1$ до 15 не более 7, но условие на произведения ограничивает набор. Проверим $a_1=9\text{:}$ набор $\{9;10;11;12;13\}$ не подходит, так как $11\cdot 13=143>140\text{.}$ Значит, при $a_1\ge 9$ не более 4 чисел.
  Таким образом, ни при каком $a_1$ нельзя получить 6 чисел.

в) Найдём наименьшую сумму четырёх чисел. Пусть $a_1$ — наименьшее число. Как показано, $a_1\ge 7$ (при $a_1\le 6$ нельзя подобрать четыре числа: например, если $a_1=6\text{,}$ то $a_2\ge 11,a_3\ge 12,a_4\ge 13\text{,}$ но $a_3{a}_4\ge 12\cdot 13=156>140$).
Переберём $a_1\text{:}$

• $a_1=7\text{:}$ чтобы $7a_2>60\text{,}$ нужно $a_2\ge 9\text{.}$ Наименьшая сумма при $a_1=7$ достигается для набора $\{7;9;10;11\}\text{:}$ сумма $7+9+10+11=37\text{.}$ Проверим произведения: $7\cdot 9=63\text{,}$ $7\cdot 10=70\text{,}$ $7\cdot 11=77\text{,}$ $9\cdot 10=90\text{,}$ $9\cdot 11=99\text{,}$ $10\cdot 11=110$ — все в $(60;140)\text{.}$ Наборы с меньшей суммой, например $\{7;9;10;12\}$ (сумма 38), дают бóльшую сумму.
• $a_1=8\text{:}$ $a_2\ge 9\text{,}$ наименьший набор $\{8;9;10;11\}$ даёт сумму 38.
• $a_1=9\text{:}$ $a_2\ge 10\text{,}$ наименьший набор $\{9;10;11;12\}$ даёт сумму 42.
• При $a_1\ge 10$ четыре числа подобрать нельзя: например, для $a_1=10$ набор $\{10;11;12;13\}$ не подходит из-за $12\cdot 13=156>140\text{.}$
  Таким образом, наименьшая сумма равна 37.

Ответ:

а) Да, может.

б) Нет, не может.

в) 37.