На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Пусть числа в порядке возрастания: a_1 < a_2 < < a_n . Из условия: для любых i < j выполняется 60 < a_i a_j < 140 . а) Рассмотрим набор 7; 9; 10; 11; 12 . Проверим произведения всех пар: 7* 9 = 63 , 7* 10 = 70 , 7* 11 = 77 , 7* 12 = 84 , 9* 10 = 90 , 9* 11 = 99 , 9* 12 = 108 , 10* 11 = 110 , 10* 12 = 120 , 11* 12 = 132 . Все произведения лежат в интервале (60; 140) . Значит, 5 чисел могут быть на доске. Другой пример: 8; 9; 10; 11; 12 . б) Докажем, что 6 чисел быть не может. Пусть a_1 — наименьшее число. Для любого j>= 2 : 60 < a_1 a_j < 140=> a_j > (60)/(a_1) и a_j < (140)/(a_1). Также для двух наибольших чисел: a_(n-1) a_n < 140 . Переберём возможные a_1 : - Если a_1<= 6 , то a_j > 10 , т.е. все числа, кроме a_1 , не меньше 11. Тогда для шести чисел a_2, , a_6 все не меньше 11, и произведение двух наибольших из них будет не меньше 15* 16 = 240 > 140 (поскольку шесть различных чисел, начиная с 11, включают как минимум 15 и 16), что противоречит условию. - Если a_1 = 7 или a_1 = 8 , максимальное количество чисел, как показано в пункте а), равно 5 (например, наборы 7;9;10;11;12 и 8;9;10;11;12 ). Попытка добавить шестое число приводит к нарушению условия: например, для a_1=7 добавление 13 даёт 12* 13 = 156 > 140 . - Если a_1>= 9 , то a_j < 140/9 < 16 , т.е. числа не превышают 15. Максимальное количество различных чисел от a_1 до 15 не более 7, но условие на произведения ограничивает набор. Проверим a_1=9 : набор 9;10;11;12;13 не подходит, так как 11* 13 = 143 > 140 . Значит, при a_1>= 9 не более 4 чисел. Таким образом, ни при каком a_1 нельзя получить 6 чисел. в) Найдём наименьшую сумму четырёх чисел. Пусть a_1 — наименьшее число. Как показано, a_1>= 7 (при a_1<= 6 нельзя подобрать четыре числа: например, если a_1=6 , то a_2>= 11, a_3>= 12, a_4>= 13 , но a_3 a_4>= 12* 13 = 156 > 140 ). Переберём a_1 : - a_1 = 7 : чтобы 7 a_2 > 60 , нужно a_2>= 9 . Наименьшая сумма при a_1=7 достигается для набора 7; 9; 10; 11 : сумма 7+9+10+11 = 37 . Проверим произведения: 7* 9 = 63 , 7* 10 = 70 , 7* 11 = 77 , 9* 10 = 90 , 9* 11 = 99 , 10* 11 = 110 — все в (60;140) . Наборы с меньшей суммой, например 7;9;10;12 (сумма 38), дают бóльшую сумму. - a_1 = 8 : a_2>= 9 , наименьший набор 8;9;10;11 даёт сумму 38. - a_1 = 9 : a_2>= 10 , наименьший набор 9;10;11;12 даёт сумму 42. - При a_1>= 10 четыре числа подобрать нельзя: например, для a_1=10 набор 10;11;12;13 не подходит из-за 12* 13 = 156 > 140 . Таким образом, наименьшая сумма равна 37. Ответ: а) Да, может. б) Нет, не может. в) 37.

а) да б) нет в) 37