В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем. а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем? б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну? в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообщ е). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Пусть количество юношей (и девушек) равно n , из них x юношей отправили по 5 писем, y — по 16 писем, x + y = n , x 2 , y 2 . Всего отправлено писем: 5x + 16y . а) Если каждая девушка получила ровно 7 писем, то 5x + 16y = 7n . Подставляя n = x + y , получаем: 5x + 16y = 7(x + y) => 9y = 2x=> x = (9y)/(2). При y = 2 получаем x = 9 , n = 11 . Общее число писем 5* 9 + 16* 2 = 77 , 77 / 11 = 7 . Распределение возможно (например, каждый юноша отправляет письма произвольно, а затем письма перераспределяются между девушками). Ответ: да. б) Пусть все девушки получили по k писем. Тогда 5x + 16y = kn , n = x + y . Отсюда: (k - 5)x = (16 - k)y, поэтому (x)/(y) = (16 - k)/(k - 5). Поскольку x и y — натуральные не меньше 2, величина (16 - k)/(k - 5) должна быть положительной и рациональной, причём 5 < k < 16 . Пусть x = (16 - k)t , y = (k - 5)t , tin N . Тогда n = 11t . Минимальное n при условии x 2 , y 2 достигается при t = 1 и k от 7 до 14 (например, k = 7 , x = 9 , y = 2 , n = 11 ). При k = 6 или k = 15 требуется t 2 , что даёт n 22 . Следовательно, наименьшее количество девушек равно 11. в) Пусть девушки получили попарно различные количества писем: 0, 1, , n-1 . Их сумма равна (n(n-1))/(2) . Это должно равняться 5x + 16y = 16n - 11x (так как y = n - x ). Получаем уравнение: 16n - 11x = (n(n-1))/(2)=> 32n - 22x = n^2 - n=> n^2 - 33n + 22x = 0=> 22x = n(33 - n). Отсюда n(33 - n) должно делиться на 22. Также x = (n(33 - n))/(22) должно удовлетворять 2 x n-2 . Перебором n от 19 до 30 (из неравенств 5n + 22 (n(n-1))/(2) 16n - 22 ) находим, что только при n = 22 получаем целое x : 22* 11 = 242 , x = 242 / 22 = 11 , y = 11 . Проверяем условия: x = 11 2 , y = 11 2 . Сумма писем: 5* 11 + 16* 11 = 231 , что равно 0 + 1 + + 21 = 231 . Распределение возможно (например, можно подобрать матрицу рассылки). Больше n не позволяет ограничение сверху на сумму писем. Ответ: 22.

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{б) }11\) \(\text{в) }22\)