Задача №15473

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

а) Если бы чисел, оканчивающихся на 2 и на 6, было поровну (по 15), то сумма последних цифр равнялась бы $15\cdot 2+15\cdot 6=120\text{,}$ что оканчивается на 0. Но сумма всех чисел 2454 оканчивается на 4, противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.

б) Если ровно одно число оканчивается на 6, то 29 чисел оканчиваются на 2. Минимальная сумма таких чисел: 2, 12, …, 282 (29 чисел) и 6.

Вычислим минимальную сумму:

\frac{2 + 282}{2}\cdot 29 + 6 = 142\cdot 29 + 6 = 4118 + 6 = 4124 > 2454. \ Поэтому этот случай также невозможен. \text{ в) } Пусть чисел, оканчивающихся на 2, - $x\text{.}$ Тогда чисел, оканчивающихся на 6, - $30 - x\text{.}$ Из условия на последнюю цифру: \[ 2x + 6(30 - x) \equiv 4\pmod{10}. \ Упростим: \[ 2x + 180 - 6x\equiv 4\pmod{10}, $$-4x\equiv 4-180(\mathrm{mod}10),$$

[
-4x\equiv -176\pmod{10}.
\

Поскольку $-176\equiv 4(\mathrm{mod}10)\text{,}$ получаем:

[
-4x\equiv
4\pmod{10}.
\

Умножим на -1:

[
4x\equiv
6\pmod{10}.
\

Решим сравнение. Поскольку НОД(4,10) = 2 и 6 делится на 2, делим на 2:

[
2x\equiv
3\pmod{5}.
\

Умножим на обратный к 2 по модулю 5, который равен 3:

[
x\equiv
3\cdot 3\equiv
9\equiv
4\pmod{5}.
\

Таким образом, $x\equiv 4(\mathrm{mod}5)\text{,}$ т.е. $x=4+5k\text{.}$ Учитывая $0\le x\le 30\text{,}$ получаем возможные значения: $x=4,9,14,19,24,29\text{.}$

Наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, соответствует наибольшему $x\text{.}$

Проверим $x=29$ (1 число оканчивается на 6). Как в пункте б, минимальная сумма равна 4124 > 2454, поэтому невозможно.

При $x=24$ (6 чисел оканчиваются на 6). Вычислим минимальную сумму:

24 чисел, оканчивающихся на 2: 2, 12, …, 232. Сумма:

[
S_2 = \frac{2 + 232}{2}\cdot 24 = 117\cdot 24 = 2808.
\

6 чисел, оканчивающихся на 6: 6, 16, …, 56. Сумма:

[
S_6 = \frac{6 + 56}{2}\cdot 6 = 31\cdot 6 = 186.
\

Общая минимальная сумма: $2808+186=2994>2454\text{,}$ невозможно.

При $x=19$ (11 чисел оканчиваются на 6). Вычислим минимальную сумму:

19 чисел, оканчивающихся на 2: 2, 12, …, 182. Сумма:

[
S_2 = \frac{2 + 182}{2}\cdot 19 = 92\cdot 19 = 1748.
\

11 чисел, оканчивающихся на 6: 6, 16, …, 106. Сумма:

[
S_6 = \frac{6 + 106}{2}\cdot 11 = 56\cdot 11 = 616.
\

Общая минимальная сумма: $1748+616=2364<2454\text{.}$

Поскольку числа различные, мы можем увеличить некоторые числа, чтобы сумма стала 2454, не меняя количество чисел. Например, увеличив наибольшее число, оканчивающееся на 2, с 182 до 272, добавим 90 к сумме, и сумма станет $2364+90=2454\text{.}$ Таким образом, такая конфигурация возможна.

Значит, 11 чисел, оканчивающихся на 6, возможно, и это наименьшее количество.

Ответ:
а) нет

б) нет

в) 11