Задача №15472

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли на доске быть ровно 24 чётных числа?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Обозначим $k$ — количество чисел, оканчивающихся на 7 (нечётные, дают остаток 7 по модулю 10). Тогда чётных чисел $30-k\text{.}$

Минимальная сумма при данном $k\text{:}$
Чётные числа берём наименьшие: $2,4,6,\dots ,2(30-k)\text{.}$ Их сумма:

$$S_{\text{ч}}=\frac{2+2(30-k)}{2}\cdot (30-k)=(31-k)(30-k).$$

Числа, оканчивающиеся на 7, берём наименьшие: $7,17,27,\dots$ (арифметическая прогрессия с разностью 10, $k$ члено

в). Их сумма:

$$S_7=\frac{7+(7+10(k-1))}{2}\cdot k=k(5k+2).$$

Минимальная общая сумма:

$$S_{\min }(k)=(31-k)(30-k)+k(5k+2).$$

а) При $k=6$ (24 чётных): $S_{\min }(6)=(25\cdot 24)+6\cdot 32=600+192=792\text{.}$

Можно увеличить сумму до 810, например, заменив чётное число 2 на 20 (увеличение на 18). Набор: чётные: $20,4,6,\dots ,48$ (24 числа, сумма 618), числа, оканчивающихся на 7: $7,17,27,37,47,57$ (сумма 192). Общая сумма 810. Все числа различны, условия выполнены. Ответ: да.

б) При $k=2$ (28 чётных): $S_{\min }(2)=(29\cdot 28)+2\cdot 12=812+24=836>810\text{.}$

Даже минимальная сумма превышает 810, поэтому невозможно. Ответ: нет.

в) Перебираем $k\text{:}$
$k=2\text{:}$ $S_{\min }=836>810$ — невозможно.
$k=3\text{:}$ $S_{\min }=(28\cdot 27)+3\cdot 17=756+51=807<810\text{.}$

Но чтобы получить сумму 810, нужно увеличить сумму на 3. При этом сумма чётных чисел не может быть меньше 756 (минимальная для 27 чисел), значит, сумма чисел, оканчивающихся на 7, должна быть не более $810-756=54\text{.}$ Наименьшая сумма трёх таких чисел — 51, следующая возможная — 61 (например, 7,17,37). Никакая тройка чисел, оканчивающихся на 7, не даёт сумму от 51 до 54. Поэтому при $k=3$ невозможно достичь суммы 810.

$k=4\text{:}$ $S_{\min }=(27\cdot 26)+4\cdot 22=702+88=790<810\text{.}$

Можно увеличить сумму на 20, например, заменив число 37 на 57. Набор: числа, оканчивающиеся на 7: $7,17,27,57$ (сумма 108); чётные: $2,4,6,\dots ,52$ (27 чисел, сумма 702). Общая сумма 810. Условия выполнены.

Значит, наименьшее возможное $k=4\text{.}$

Ответ:
а) да

б) нет

в) 4