Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S. а) Может ли S быть равной 16(5)/(6)? б) Может ли S быть равной 569(29)/(126)? в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Пусть четыре последовательных числа: n, n+1, n+2, n+3. Обозначим последнюю цифру n за a (1 a 9, a!= 0). Так как числа не оканчиваются на 0, то a, a+1, a+2, a+3 должны быть отличны от 0, откуда 1 a 6. Представим n=10k+a, где k — целое неотрицательное. Тогда сумма S равна: S = (10k+a)/(a) + (10k+a+1)/(a+1) + (10k+a+2)/(a+2) + (10k+a+3)/(a+3) = 10k((1)/(a)+(1)/(a+1)+(1)/(a+2)+(1)/(a+3)) + 4. Обозначим H_a = (1)/(a)+(1)/(a+1)+(1)/(a+2)+(1)/(a+3). а) Подставляем S = 16(5)/(6) = (101)/(6). Для a=2: H_2 = (1)/(2)+(1)/(3)+(1)/(4)+(1)/(5) = (77)/(60). Тогда S = 10k*(77)/(60) + 4. При k=1 получаем S = (77)/(6)+4 = (101)/(6). Соответствующие числа: n=10* 1+2=12, т.е. 12, 13, 14, 15. Проверка: (12)/(2)=6, (13)/(3)=(13)/(3), (14)/(4)=(7)/(2), (15)/(5)=3, сумма 6+(13)/(3)+(7)/(2)+3 = (101)/(6). Значит, может. б) S = 569(29)/(126) = (71723)/(126). Тогда 10k H_a = S-4 = (71723)/(126)-4 = (71219)/(126), откуда k H_a = (71219)/(1260). Для каждого a от 1 до 6 вычисляем H_a и проверяем, является ли k = (71219)/(1260 H_a) целым. Для a=1: H_1=(25)/(12), k=(71219)/(1260)*(12)/(25) = (854628)/(31500) = (213657)/(7875) — не целое. Для a=2: H_2=(77)/(60), k=(71219)/(1260)*(60)/(77) = (71219)/(1617) — не целое. Для a=3: H_3=(19)/(20), k=(71219)/(1260)*(20)/(19) = (71219)/(1197) — не целое. Для a=4: H_4=(319)/(420), k=(71219)/(1260)*(420)/(319) = (71219)/(957) — не целое. Для a=5: H_5=(533)/(840), k=(71219)/(1260)*(840)/(533) = (142438)/(1599) — не целое. Для a=6: H_6=(275)/(504), k=(71219)/(1260)*(504)/(275) = (142438)/(1375) — не целое. Таким образом, ни для какого a нет целого k, значит, не может. в) Исходные числа трёхзначные, поэтому 100 n 996, откуда k целое, 10 k 99 (для всех допустимых a). Наибольшее S достигается при наибольшем H_a и наибольшем допустимом k, при котором S целое. Наибольшее H_a у a=1: H_1=(25)/(12), тогда S = 10k*(25)/(12)+4 = (125)/(6)k+4. Чтобы S было целым, k должно делиться на 6. Наибольшее k, кратное 6, в диапазоне 10 k 99 равно 96. При k=96 получаем S = (125)/(6)* 96+4 = 125* 16+4 = 2004. Проверим другие a: для a=2 максимальное целое S при k=96 равно (77)/(6)* 96+4=1236; для a=3 при k=98: (19)/(2)* 98+4=935; для остальных a значения ещё меньше. Следовательно, наибольшее целое S равно 2004. Ответ: а) может б) не может в) 2004

а) да б) нет в) 2004