Задача №15471

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна $S\text{.}$
а) Может ли $S$ быть равной $16\frac{5}{6}\text{?}$

б) Может ли $S$ быть равной $569\frac{29}{126}\text{?}$

в) Найдите наибольшее целое значение $S\text{,}$ если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

Пусть четыре последовательных числа: $n,n+1,n+2,n+3\text{.}$ Обозначим последнюю цифру $n$ за $a$ ($1⩽a⩽9\text{,}$ $a\ne 0$). Так как числа не оканчиваются на 0, то $a,a+1,a+2,a+3$ должны быть отличны от 0, откуда $1⩽a⩽6\text{.}$
Представим $n=10k+a\text{,}$ где $k$ — целое неотрицательное.
Тогда сумма $S$ равна:

$$S=\frac{10k+a}{a}+\frac{10k+a+1}{a+1}+\frac{10k+a+2}{a+2}+\frac{10k+a+3}{a+3}=10k\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+3}\right)+4.$$

Обозначим $H_a=\frac{1}{a}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+2}+\frac{1}{a+3}\text{.}$

а) Подставляем $S=16\frac{5}{6}=\frac{101}{6}\text{.}$
Для $a=2\text{:}$ $H_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{77}{60}\text{.}$
Тогда $S=10k\cdot \frac{77}{60}+4\text{.}$
При $k=1$ получаем $S=\frac{77}{6}+4=\frac{101}{6}\text{.}$
Соответствующие числа: $n=10\cdot 1+2=12\text{,}$ т.е. 12, 13, 14, 15.
Проверка: $\frac{12}{2}=6\text{,}$ $\frac{13}{3}=\frac{13}{3}\text{,}$ $\frac{14}{4}=\frac{7}{2}\text{,}$ $\frac{15}{5}=3\text{,}$ сумма $6+\frac{13}{3}+\frac{7}{2}+3=\frac{101}{6}\text{.}$
Значит, может.

б) $S=569\frac{29}{126}=\frac{71723}{126}\text{.}$
Тогда $10k{H}_a=S-4=\frac{71723}{126}-4=\frac{71219}{126}\text{,}$ откуда $k{H}_a=\frac{71219}{1260}\text{.}$

Для каждого $a$ от 1 до 6 вычисляем $H_a$ и проверяем, является ли $k=\frac{71219}{1260H_a}$ целым.

Для $a=1\text{:}$ $H_1=\frac{25}{12}\text{,}$ $k=\frac{71219}{1260}\cdot \frac{12}{25}=\frac{854628}{31500}=\frac{213657}{7875}$ — не целое.

Для $a=2\text{:}$ $H_2=\frac{77}{60}\text{,}$ $k=\frac{71219}{1260}\cdot \frac{60}{77}=\frac{71219}{1617}$ — не целое.

Для $a=3\text{:}$ $H_3=\frac{19}{20}\text{,}$ $k=\frac{71219}{1260}\cdot \frac{20}{19}=\frac{71219}{1197}$ — не целое.

Для $a=4\text{:}$ $H_4=\frac{319}{420}\text{,}$ $k=\frac{71219}{1260}\cdot \frac{420}{319}=\frac{71219}{957}$ — не целое.

Для $a=5\text{:}$ $H_5=\frac{533}{840}\text{,}$ $k=\frac{71219}{1260}\cdot \frac{840}{533}=\frac{142438}{1599}$ — не целое.

Для $a=6\text{:}$ $H_6=\frac{275}{504}\text{,}$ $k=\frac{71219}{1260}\cdot \frac{504}{275}=\frac{142438}{1375}$ — не целое.

Таким образом, ни для какого $a$ нет целого $k\text{,}$ значит, не может.

в) Исходные числа трёхзначные, поэтому $100⩽n⩽996\text{,}$ откуда $k$ целое, $10⩽k⩽99$ (для всех допустимых $a$).
Наибольшее $S$ достигается при наибольшем $H_a$ и наибольшем допустимом $k\text{,}$ при котором $S$ целое.
Наибольшее $H_a$ у $a=1\text{:}$ $H_1=\frac{25}{12}\text{,}$ тогда $S=10k\cdot \frac{25}{12}+4=\frac{125}{6}k+4\text{.}$
Чтобы $S$ было целым, $k$ должно делиться на 6.
Наибольшее $k\text{,}$ кратное 6, в диапазоне $10⩽k⩽99$ равно 96.
При $k=96$ получаем $S=\frac{125}{6}\cdot 96+4=125\cdot 16+4=2004\text{.}$
Проверим другие $a\text{:}$ для $a=2$ максимальное целое $S$ при $k=96$ равно $\frac{77}{6}\cdot 96+4=1236\text{;}$ для $a=3$ при $k=98\text{:}$ $\frac{19}{2}\cdot 98+4=935\text{;}$ для остальных $a$ значения ещё меньше.
Следовательно, наибольшее целое $S$ равно 2004.

Ответ:

а) может

б) не может

в) 2004