В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 18. Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально? б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы? в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?

Пусть в школе №1 изначально n учащихся, сумма баллов S_1 = 18n ; в школе №2 m учащихся, сумма баллов S_2 = a m , где a — целый средний балл. Учащийся с баллом x переходит из школы №1 в школу №2. Новые средние баллы после перехода: В школе №1: (18n - x)/(n - 1) = 18* 1.1 = 19.8. В школе №2: (S_2 + x)/(m + 1) = 1.1 a. Из первого уравнения выразим x : 18n - x = 19.8(n - 1), x = 18n - 19.8n + 19.8 = 19.8 - 1.8n. Так как x — натуральное число, то 1.8(11 - n) должно быть натуральным. С учётом n>= 2 , единственный вариант: n = 6 , тогда x = 9 . Из второго уравнения: (a m + x)/(m + 1) = 1.1 a. Подставим x = 9 : (a m + 9)/(m + 1) = 1.1 a. Умножим обе части на m + 1 : a m + 9 = 1.1 a (m + 1). Раскроем скобки: a m + 9 = 1.1 a m + 1.1 a. Перенесем слагаемые: a m - 1.1 a m = 1.1 a - 9, -0.1 a m = 1.1 a - 9, 0.1 a m = 9 - 1.1 a. Умножим на 10: a m = 90 - 11 a. Отсюда m = (90)/(a) - 11. При целых a получаем возможные значения m : - a = 1 : m = 90 - 11 = 79 , - a = 2 : m = 45 - 11 = 34 , - a = 3 : m = 30 - 11 = 19 , - a = 5 : m = 18 - 11 = 7 , - a = 6 : m = 15 - 11 = 4 . а) Изначально в школе №1 могло быть только n = 6 учащихся. б) В школе №1 было 6 учащихся с общей суммой баллов S_1 = 18* 6 = 108 , один из них набрал 9 баллов. Чтобы максимизировать наибольший балл при условии, что все баллы различны, минимизируем остальные баллы. Наименьшие различные натуральные числа, включая 9: 1, 2, 3, 4, 9. Их сумма равна 19. Тогда наибольший возможный балл: 108 - 19 = 89 . в) Условие: изначально в школе №2 более 10 учащихся, т.е. m > 10 . Из возможных значений m наименьшее, большее 10, это 19. Ответ: а) 6 б) 89 в) 19

\(\text{а) }6\) \(\text{б) }89\) \(\text{в) }19\)