Задача №15469

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом, причём в школе №1 средний балл равнялся 18.

Один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах. В результате средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%.

а) Сколько учащихся могло писать тест в школе №1 изначально?

б) В школе №1 все писавшие тест набрали разное количество баллов. Какое наибольшее количество баллов мог набрать учащийся этой школы?

в) Известно, что изначально в школе №2 писали тест более 10 учащихся. Какое наименьшее количество учащихся могло писать тест в школе №2 изначально?

Пусть в школе №1 изначально $n$ учащихся, сумма баллов $S_1=18n\text{;}$ в школе №2 $m$ учащихся, сумма баллов $S_2=am\text{,}$ где $a$ — целый средний балл.

Учащийся с баллом $x$ переходит из школы №1 в школу №2.

Новые средние баллы после перехода:

В школе №1:

$$\frac{18n-x}{n-1}=18\cdot 1.1=\mathrm{19.8.}$$

В школе №2:

$$\frac{S_2+x}{m+1}=1.1a.$$

Из первого уравнения выразим $x\text{:}$

$$18n-x=19.8(n-1),$$ $$x=18n-19.8n+19.8=19.8-1.8n.$$

Так как $x$ — натуральное число, то $1.8(11-n)$ должно быть натуральным. С учётом $n\ge 2\text{,}$ единственный вариант: $n=6\text{,}$ тогда $x=9\text{.}$

Из второго уравнения:

$$\frac{am+x}{m+1}=1.1a.$$

Подставим $x=9\text{:}$

$$\frac{am+9}{m+1}=1.1a.$$

Умножим обе части на $m+1\text{:}$

$$am+9=1.1a(m+1).$$

Раскроем скобки:

$$am+9=1.1am+1.1a.$$

Перенесем слагаемые:

$$am-1.1am=1.1a-9,$$ $$-0.1am=1.1a-9,$$ $$0.1am=9-1.1a.$$

Умножим на 10:

$$am=90-11a.$$

Отсюда

$$m=\frac{90}{a}-11.$$

При целых $a$ получаем возможные значения $m\text{:}$

• $a=1\text{:}$ $m=90-11=79\text{,}$
• $a=2\text{:}$ $m=45-11=34\text{,}$
• $a=3\text{:}$ $m=30-11=19\text{,}$
• $a=5\text{:}$ $m=18-11=7\text{,}$
• $a=6\text{:}$ $m=15-11=4\text{.}$

а) Изначально в школе №1 могло быть только $n=6$ учащихся.

б) В школе №1 было 6 учащихся с общей суммой баллов $S_1=18\cdot 6=108\text{,}$ один из них набрал 9 баллов. Чтобы максимизировать наибольший балл при условии, что все баллы различны, минимизируем остальные баллы. Наименьшие различные натуральные числа, включая 9: 1, 2, 3, 4, 9. Их сумма равна 19. Тогда наибольший возможный балл: $108-19=89\text{.}$

в) Условие: изначально в школе №2 более 10 учащихся, т.е. $m>10\text{.}$ Из возможных значений $m$ наименьшее, большее 10, это 19.

Ответ:
а) 6

б) 89

в) 19