Задача №15468

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 12.

а) Может ли наибольшее из этих десяти чисел равняться 14?

б) Может ли среднее арифметическое всех десяти чисел равняться 8,4?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех десяти чисел.

Пусть числа в порядке возрастания: $a_1<a_2<\dots <a_{10}\text{.}$ Из условия: среднее арифметическое шести наименьших равно 6, поэтому $a_1+\dots +a_6=36\text{.}$ Среднее арифметическое шести наибольших равно 12, поэтому $a_5+\dots +a_{10}=72\text{.}$

Сложим эти суммы:

$$(a_1+\dots +a_6)+(a_5+\dots +a_{10})=36+72=108.$$

Заметим, что числа $a_5$ и $a_6$ входят в обе суммы, поэтому

$$(a_1+\dots +a_{10})+(a_5+a_6)=108.$$

Обозначим $S=a_1+\dots +a_{10}\text{.}$ Тогда $S=108-(a_5+a_6)\text{.}$

а) Предположим, что $a_{10}=14\text{.}$ Поскольку числа возрастают, максимально возможные значения для $a_5,\dots ,a_9$ при $a_{10}=14\text{:}$ $a_9=13\text{,}$ $a_8=12\text{,}$ $a_7=11\text{,}$ $a_6=10\text{,}$ $a_5=9\text{.}$ Тогда сумма $a_5+\dots +a_{10}=9+10+11+12+13+14=69\text{.}$ Но по условию эта сумма должна быть 72, а $69<72\text{.}$ Противоречие. Значит, $a_{10}$ не может равняться 14.

б) Предположим, что среднее арифметическое всех чисел равно 8,4. Тогда $S=10\cdot 8,4=84\text{.}$ Из $S=108-(a_5+a_6)$ получаем $a_5+a_6=108-84=24\text{.}$

Сумма шести наименьших: $a_1+\dots +a_6=36\text{,}$ поэтому $a_1+\dots +a_4=36-24=12\text{.}$

Сумма шести наибольших: $a_5+\dots +a_{10}=72\text{,}$ поэтому $a_7+\dots +a_{10}=72-24=48\text{.}$

Поскольку $a_7,a_8,a_9,a_{10}$ — различные натуральные числа, большие $a_6\text{,}$ их минимально возможная сумма равна $(a_6+1)+(a_6+2)+(a_6+3)+(a_6+4)=4a_6+10\text{.}$ Поэтому $4a_6+10⩽48\text{,}$ откуда $4a_6⩽38\text{,}$ $a_6⩽9,5\text{,}$ так что $a_6⩽9$ (как натуральное число).

С другой стороны, из $a_5+a_6=24$ и $a_5<a_6$ имеем $a_5=24-a_6\text{.}$ Неравенство $a_5<a_6$ даёт $24-a_6<a_6\text{,}$ то есть $24<2a_6\text{,}$ $a_6>12\text{.}$ Поскольку $a_6$ натуральное, $a_6⩾13\text{.}$

Получено противоречие: $a_6⩽9$ и $a_6⩾13\text{.}$ Значит, среднее арифметическое всех чисел не может равняться 8,4.

в) Найдём наименьшее значение среднего арифметического всех чисел. Среднее равно $S/10=(108-(a_5+a_6))/10\text{.}$ Чтобы минимизировать среднее, нужно максимизировать $M=a_5+a_6\text{.}$

Найдём максимальное возможное $M$ при ограничениях.

Из суммы шести наименьших: $a_1+\dots +a_4=36-M\text{.}$ Так как $a_1,a_2,a_3,a_4$ — различные натуральные числа, наименьшая возможная их сумма равна $1+2+3+4=10\text{.}$ Поэтому $36-M⩾10\text{,}$ откуда $M⩽26\text{.}$

Из суммы шести наибольших: $a_7+\dots +a_{10}=72-M\text{.}$ Поскольку $a_7,\dots ,a_{10}$ — различные натуральные числа, большие $a_6\text{,}$ их минимальная сумма равна $4a_6+10\text{.}$ Следовательно, $72-M⩾4a_6+10\text{,}$ откуда $62⩾M+4a_6\text{,}$ то есть $a_6⩽(62-M)/4\text{.}$

Так как $a_5=M-a_6$ и $a_5<a_6\text{,}$ имеем $M-a_6<a_6\text{,}$ откуда $a_6>M/2\text{.}$

Таким образом, для существования подходящих $a_5$ и $a_6$ необходимо, чтобы было натуральное $a_6\text{,}$ удовлетворяющее $M/2<a_6⩽(62-M)/4\text{,}$ причём $a_5=M-a_6$ также натуральное и меньше $a_6\text{.}$

Перебираем возможные $M$ от 26 вниз. Наибольшее $M\text{,}$ удовлетворяющее условиям, — это $M=19\text{.}$ При $M=19\text{:}$ $a_6>9,5\text{,}$ так что $a_6⩾10\text{,}$ и $a_6⩽(62-19)/4=43/4=10,75\text{,}$ поэтому $a_6=10$ возможно. Тогда $a_5=19-10=9\text{,}$ и $a_5<a_6$ выполняется. Проверяем остальные условия: $a_1+\dots +a_4=36-19=17\text{,}$ что не меньше 10, можно подобрать, например, $a_1=1,a_2=3,a_3=6,a_4=7\text{.}$ $a_7+\dots +a_{10}=72-19=53\text{,}$ при $a_6=10$ минимальная сумма $a_7,\dots ,a_{10}$ равна $11+12+13+14=50\text{,}$ что меньше 53, поэтому можно подобрать, например, $a_7=11,a_8=12,a_9=14,a_{10}=16\text{.}$ Таким образом, набор чисел существует, например: $1,3,6,7,9,10,11,12,14,16\text{.}$

Для $M=18$ условия также выполняются, но $M=19$ больше, поэтому максимальное $M=19\text{.}$

Тогда $S=108-19=89\text{,}$ и среднее арифметическое равно $89/10=8,9\text{.}$

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 8,9