Задача №15467

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?

б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа $n\text{,}$ большего 1. Найдите наименьшее возможное значение $n\text{.}$

Из условия: среднее арифметическое любых четырёх чисел целое $\Rightarrow$ сумма любых четырёх чисел делится на 4 $\Rightarrow$ все числа дают одинаковый остаток по модулю 4. Аналогично для любых пяти чисел $\Rightarrow$ все числа дают одинаковый остаток по модулю 5. Значит, все числа сравнимы по модулю 20.

а) Проверим числа 403 и 2013:

$$403\mathrm{mod}20=3,2013\mathrm{mod}20=13.$$

Остатки разные, поэтому одновременно они быть не могут.

б) Если есть число 403, то все числа $\equiv 3(\mathrm{mod}20)\text{.}$ Квадрат натурального числа по модулю 20 может давать остатки 0, 1, 4, 5, 6, 9, 16, но не 3. Значит, квадрата быть не может.

в) Так как есть число 1, то все числа $\equiv 1(\mathrm{mod}20)\text{.}$ Квадрат $n^2$ тоже должен быть $\equiv 1(\mathrm{mod}20)\text{.}$ Наименьшее $n>1\text{,}$ удовлетворяющее этому: $n=9$ (так как $9^2=81\equiv 1(\mathrm{mod}20)$).

Проверим существование набора: например, числа $1,21,41,61,81,101,121,141,161,181$ — все различны, имеют вид $20k+1\text{,}$ поэтому сумма любых четырёх или пяти делится на 4 и на 5. Условие выполнено.

Ответ:

а) Нет, не могут.

б) Нет, не может.

в) $n=9$