Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см? б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см? в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?

а) Да, можно. Первый ход: разрезаем кусок 16 см на два по 8 см. Второй ход: разрезаем оба куска по 8 см на четыре по 4 см. Третий ход: разрезаем четыре куска по 4 см на восемь по 2 см. Четвёртый ход: разрезаем восемь кусков по 2 см на шестнадцать по 1 см. б) Нет. За каждый ход количество кусков увеличивается на число разрезаемых кусков k. Максимальное количество кусков после 5 ходов достигается, если каждый раз разрезать все куски: после ходов будет 2, 4, 8, 16, 32 кусков. Итоговое число кусков — 32, а нужно 100. Сумма увеличений k за 5 ходов не превышает 1+2+4+8+16=31, что меньше требуемого увеличения на 99. в) Минимальное число ходов — 8. За 7 ходов максимальное количество кусков (при разрезании всех на каждом ход е) равно 2^7=128 < 200, поэтому 7 ходов недостаточно. За 8 ходов можно получить 200 кусков, например, выбрав последовательность количеств кусков после ходов: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 100, 200. Это возможно, так как на каждом шаге прирост не превышает текущее количество. Конкретную последовательность разрезов, приводящую к кускам длины 1 см, можно построить, соответствующим образом выбирая длины частей при каждом разрезании. Ответ: а) Да, можно. б) Нет. в) 8.

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }8\)