Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ФИПИ
Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
а) Да, можно.
Первый ход: разрезаем кусок 16 см на два по 8 см.
Второй ход: разрезаем оба куска по 8 см на четыре по 4 см.
Третий ход: разрезаем четыре куска по 4 см на восемь по 2 см.
Четвёртый ход: разрезаем восемь кусков по 2 см на шестнадцать по 1 см.
б) Нет.
За каждый ход количество кусков увеличивается на число разрезаемых кусков k. Максимальное количество кусков после 5 ходов достигается, если каждый раз разрезать все куски: после ходов будет 2,4,8,16,32 кусков. Итоговое число кусков — 32, а нужно 100. Сумма увеличений k за 5 ходов не превышает 1+2+4+8+16=31, что меньше требуемого увеличения на 99.
в) Минимальное число ходов — 8.
За 7 ходов максимальное количество кусков (при разрезании всех на каждом ход
е) равно 27=128<200, поэтому 7 ходов недостаточно.
За 8 ходов можно получить 200 кусков, например, выбрав последовательность количеств кусков после ходов: 1,2,4,8,16,32,64,100,200. Это возможно, так как на каждом шаге прирост не превышает текущее количество. Конкретную последовательность разрезов, приводящую к кускам длины 1 см, можно построить, соответствующим образом выбирая длины частей при каждом разрезании.
Ответ:
а) Да, можно.
б) Нет.
в) 8.