Задача №15465

По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?

а) Пример расстановки чисел по окружности: 1, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, 12.

Вычислим модули разностей соседних чисел (учитывая замыкани

е):
$|1-3|=2\text{,}$ $|3-2|=1\text{,}$ $|2-5|=3\text{,}$ $|5-4|=1\text{,}$ $|4-7|=3\text{,}$ $|7-6|=1\text{,}$ $|6-9|=3\text{,}$ $|9-8|=1\text{,}$ $|8-11|=3\text{,}$ $|11-10|=1\text{,}$ $|10-12|=2\text{,}$ $|12-1|=11\text{.}$

Сумма: $2+1+3+1+3+1+3+1+3+1+2+11=32\text{.}$

б) Для любой расстановки чисел $a_1,a_2,\dots ,a_{12}$ сумма $S={\sum }_{i=1}^{12}|a_{i+1}-a_i|$ (где $a_{13}=a_1$) имеет ту же четность, что и ${\sum }_{i=1}^{12}(a_{i+1}-a_i)=0\text{.}$

Следовательно, $S$ четна.

Число 29 нечетно, поэтому сумма не может равняться 29.

в) Наибольшее значение суммы равно 72.

Пример расстановки, достигающей этой суммы: 1, 12, 2, 11, 3, 10, 4, 9, 5, 8, 6, 7.

Разности: $11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,6\text{,}$ их сумма $11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+6=72\text{.}$

Можно показать, что сумма не может превышать 72, так как каждое число от 1 до 12 участвует в двух разностях, и максимальный суммарный вклад всех чисел при оптимальном чередовании «маленькое–большое» равен 144, что соответствует $S=72\text{.}$

Ответ:

а) Пример расстановки: 1, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 11, 10, 12; сумма модулей разностей равна 32.

б) Нет, сумма не может быть равна 29.

в) Наибольшее значение суммы равно 72.