Из правильной несократимой дроби (a)/(b), где a и b — натуральные числа, за один ход получают дробь (a+b)/(2a+b). а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби (1)/(3) получить дробь (22)/(31)? б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь (7)/(12)? в) Несократимая дробь (c)/(d) больше 0,7. Найдите наименьшую дробь (c)/(d), которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Преобразование дроби: f((a)/(b)) = (a+b)/(2a+b). В терминах x=(a)/(b) (правильная дробь): f(x) = (x+1)/(2x+1). а) Последовательно вычисляем: f((1)/(3)) = (4)/(5), f((4)/(5)) = (9)/(13), f((9)/(13)) = (22)/(31). Значит, можно за три хода. б) За два хода: f(f(x)) = (3x+2)/(4x+3). Решаем уравнение: (3x+2)/(4x+3) = (7)/(12). Получаем: 12(3x+2) = 7(4x+3) => 36x + 24 = 28x + 21=> 8x = -3=> x = -(3)/(8). Это не является правильной дробью. Значит, нельзя. в) Дробь (c)/(d) можно получить за два хода тогда и только тогда, когда найдутся натуральные a,b такие, что (3a+2b)/(4a+3b) = (c)/(d). Это эквивалентно существованию натуральных a,b с условием a<b, для которых c = 3a+2b, d = 4a+3b. Отсюда a = 3c-2d, b = 3d-4c. Условия натуральности a,b и a<b дают: 3c-2d > 0, 3d-4c > 0, 7c < 5d. То есть (2)/(3) < (c)/(d) < (5)/(7). При этом если (c)/(d) несократима, то числа a=3c-2d, b=3d-4c будут натуральными и дадут искомое представление. Значит, все несократимые дроби из интервала ((2)/(3), (5)/(7)) достижимы. Дроби, большие 0,7, но не меньшие (5)/(7), недостижимы. Наименьшая такая дробь — (5)/(7). Ответ: а) можно за три хода б) нельзя в) (5)/(7)

а) да б) нет в) \( \dfrac{5}{7} \)