Задача №15464

Из правильной несократимой дроби $\frac{a}{b}\text{,}$ где $a$ и $b$ — натуральные числа, за один ход получают дробь $\frac{a+b}{2a+b}\text{.}$

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби $\frac{1}{3}$ получить дробь $\frac{22}{31}\text{?}$

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь $\frac{7}{12}\text{?}$

в) Несократимая дробь $\frac{c}{d}$ больше 0,7. Найдите наименьшую дробь $\frac{c}{d}\text{,}$ которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода?

Преобразование дроби:

$$f\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{a+b}{2a+b}.$$

В терминах $x=\frac{a}{b}$ (правильная дробь):

$$f(x)=\frac{x+1}{2x+1}.$$

а) Последовательно вычисляем:

$$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{5},f\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{9}{13},f\left(\frac{9}{13}\right)=\frac{22}{31}.$$

Значит, можно за три хода.

б) За два хода:

$$f(f(x))=\frac{3x+2}{4x+3}.$$

Решаем уравнение:

$$\frac{3x+2}{4x+3}=\frac{7}{12}.$$

Получаем:

$$12(3x+2)=7(4x+3)\Rightarrow 36x+24=28x+21\Rightarrow 8x=-3\Rightarrow x=-\frac{3}{8}.$$

Это не является правильной дробью. Значит, нельзя.

в) Дробь $\frac{c}{d}$ можно получить за два хода тогда и только тогда, когда найдутся натуральные $a,b$ такие, что

$$\frac{3a+2b}{4a+3b}=\frac{c}{d}.$$

Это эквивалентно существованию натуральных $a,b$ с условием $a<b\text{,}$ для которых

$$c=3a+2b,d=4a+3b.$$

Отсюда

$$a=3c-2d,b=3d-4c.$$

Условия натуральности $a,b$ и $a<b$ дают:

$$3c-2d>0,3d-4c>0,7c<5d.$$

То есть

$$\frac{2}{3}<\frac{c}{d}<\frac{5}{7}.$$

При этом если $\frac{c}{d}$ несократима, то числа $a=3c-2d\text{,}$ $b=3d-4c$ будут натуральными и дадут искомое представление. Значит, все несократимые дроби из интервала $\left(\frac{2}{3},\frac{5}{7}\right)$ достижимы.

Дроби, большие $0,7\text{,}$ но не меньшие $\frac{5}{7}\text{,}$ недостижимы. Наименьшая такая дробь — $\frac{5}{7}\text{.}$

Ответ:

а) можно за три хода

б) нельзя

в) $\frac{5}{7}$