В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше 6?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?
Пусть n — количество дней, Ck — количество чисел, записанных в день k, а Sk — сумма этих чисел. По условию для всех k∈{1;…;n} числа натуральные и меньше 6, то есть принадлежат множеству {1;2;3;4;5}. Это означает, что для любого дня выполняется неравенство:
Ck⩽Sk⩽5CkТакже по условию для k>1 имеем Sk>Sk−1 и Ck<Ck−1.
а) Да, может. Рассмотрим случай n=7. Пусть количество чисел в каждый день будет минимально возможным, исходя из условия строгого убывания: C7=3,C6=4,C5=5,C4=6,C3=7,C2=8,C1=9.
Пусть суммы чисел будут следующими: S1=9,S2=10,S3=11,S4=12,S5=13,S6=14,S7=15.
Проверим выполнение условий:
1. Суммы строго возрастают: 9<10<11<12<13<14<15.
2. Количества строго убывают: 9>8>7>6>5>4>3.
3. Условие Ck⩽Sk⩽5Ck выполняется для всех дней (наиболее критично для k=7: 3⩽15⩽5⋅3, верно).
Такой набор чисел возможен (например, в первый день девять единиц, а в последний — три пятерки).
б) Нет, не может. Обозначим среднее арифметическое всех чисел за A.
A=C1+C2+⋯+CnS1+S2+⋯+SnТак как Sk возрастает, а Ck убывает, максимальное значение суммы всех Sk при фиксированном Sn достигается, когда они максимально близки к Sn. Учитывая Sn⩽5Cn, имеем Sk⩽5Cn−(n−k).
Тогда ∑Sk⩽n(5Cn)−2n(n−1).
Минимальное значение суммы всех Ck достигается, когда они максимально близки к Cn: Ck⩾Cn+(n−k).
Тогда ∑Ck⩾nCn+2n(n−1).
Следовательно:
A⩽nCn+2n(n−1)5nCn−2n(n−1)=2Cn+(n−1)10Cn−(n−1)Чтобы A>4, должно выполняться:
10Cn−n+1>8Cn+4n−4⇒2Cn>5n−5⇒Cn>2,5(n−1)С другой стороны, среднее арифметическое в первый день A1=C1S1<2. Так как S1⩽Sn−(n−1)⩽5Cn−n+1 и C1⩾Cn+n−1, получаем:
A1⩽Cn+n−15Cn−n+1<2⇒5Cn−n+1<2Cn+2n−2⇒3Cn<3n−3⇒Cn<n−1Мы получили противоречие: Cn>2,5(n−1) и одновременно Cn<n−1. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Если S1=5, то C1⩽5 (так как все числа натуральные).
Так как C1>C2>⋯>Cn, то число дней n⩽C1⩽5. Также Sn>Sn−1>⋯>S1=5, откуда Sn⩾5+(n−1)=n+4. Учитывая Sn⩽5Cn, получаем 5Cn⩾n+4.
Рассмотрим возможные значения n:
1. Если n=5, то C1=5,C2=4,C3=3,C4=2,C5=1. Тогда S5⩽5C5=5, что невозможно, так как S5>S1=5.
2. Если n=4, то C1=5,C2=4,C3=3,C4=2. Максимальные суммы: S4=10,S3=9,S2=8,S1=5. Итого: 5+8+9+10=32.
3. Если n=3, то максимальные суммы достигаются при наибольших Ck. Пусть C1=5,C2=4,C3=3. Тогда S3⩽5⋅3=15. Чтобы максимизировать сумму, возьмем S3=15,S2=14,S1=5. Итого: 5+14+15=34.
(Пример набора чисел: 1-й день: 1, 1, 1, 1, 1; 2-й день: 5, 5, 2, 2; 3-й день: 5, 5, 5).
4. Если n=2, то C1=5,C2=4. Тогда S2⩽5⋅4=20,S1=5. Итого: 5+20=25.
Наибольшая сумма равна 34.
Ответ:
а) Да
б) Нет
в) 34
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ФИПИ