В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли n быть больше 6? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 4? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Пусть n — количество дней, C_k — количество чисел, записанных в день k , а S_k — сумма этих чисел. По условию для всех k in 1; ; n числа натуральные и меньше 6, то есть принадлежат множеству 1; 2; 3; 4; 5 . Это означает, что для любого дня выполняется неравенство: C_k S_k 5 C_k Также по условию для k > 1 имеем S_k > S_(k-1) и C_k < C_(k-1) . а) Да, может. Рассмотрим случай n = 7 . Пусть количество чисел в каждый день будет минимально возможным, исходя из условия строгого убывания: C_7 = 3, C_6 = 4, C_5 = 5, C_4 = 6, C_3 = 7, C_2 = 8, C_1 = 9 . Пусть суммы чисел будут следующими: S_1 = 9, S_2 = 10, S_3 = 11, S_4 = 12, S_5 = 13, S_6 = 14, S_7 = 15 . Проверим выполнение условий: 1. Суммы строго возрастают: 9 < 10 < 11 < 12 < 13 < 14 < 15 . 2. Количества строго убывают: 9 > 8 > 7 > 6 > 5 > 4 > 3 . 3. Условие C_k S_k 5 C_k выполняется для всех дней (наиболее критично для k = 7 : 3 15 5 * 3 , верно). Такой набор чисел возможен (например, в первый день девять единиц, а в последний — три пятерки). б) Нет, не может. Обозначим среднее арифметическое всех чисел за A . A = (S_1 + S_2 + + S_n)/(C_1 + C_2 + + C_n) Так как S_k возрастает, а C_k убывает, максимальное значение суммы всех S_k при фиксированном S_n достигается, когда они максимально близки к S_n . Учитывая S_n 5 C_n , имеем S_k 5 C_n - (n - k) . Тогда S_k n(5 C_n) - (n(n - 1))/(2) . Минимальное значение суммы всех C_k достигается, когда они максимально близки к C_n : C_k C_n + (n - k) . Тогда C_k n C_n + (n(n - 1))/(2) . Следовательно: A (5 n C_n - n(n - 1)2)/(n C_n + n(n - 1)2) = (10 C_n - (n - 1))/(2 C_n + (n - 1)) Чтобы A > 4 , должно выполняться: 10 C_n - n + 1 > 8 C_n + 4n - 4 => 2 C_n > 5n - 5 => C_n > 2,5(n - 1) С другой стороны, среднее арифметическое в первый день A_1 = (S_1)/(C_1) < 2 . Так как S_1 S_n - (n - 1) 5 C_n - n + 1 и C_1 C_n + n - 1 , получаем: A_1 (5 C_n - n + 1)/(C_n + n - 1) < 2 => 5 C_n - n + 1 < 2 C_n + 2n - 2 => 3 C_n < 3n - 3 => C_n < n - 1 Мы получили противоречие: C_n > 2,5(n - 1) и одновременно C_n < n - 1 . Значит, такая ситуация невозможна. в) Если S_1 = 5 , то C_1 5 (так как все числа натуральные). Так как C_1 > C_2 > > C_n , то число дней n C_1 5 . Также S_n > S_(n-1) > > S_1 = 5 , откуда S_n 5 + (n - 1) = n + 4 . Учитывая S_n 5 C_n , получаем 5 C_n n + 4 . Рассмотрим возможные значения n : 1. Если n = 5 , то C_1 = 5, C_2 = 4, C_3 = 3, C_4 = 2, C_5 = 1 . Тогда S_5 5 C_5 = 5 , что невозможно, так как S_5 > S_1 = 5 . 2. Если n = 4 , то C_1 = 5, C_2 = 4, C_3 = 3, C_4 = 2 . Максимальные суммы: S_4 = 10, S_3 = 9, S_2 = 8, S_1 = 5 . Итого: 5 + 8 + 9 + 10 = 32 . 3. Если n = 3 , то максимальные суммы достигаются при наибольших C_k . Пусть C_1 = 5, C_2 = 4, C_3 = 3 . Тогда S_3 5 * 3 = 15 . Чтобы максимизировать сумму, возьмем S_3 = 15, S_2 = 14, S_1 = 5 . Итого: 5 + 14 + 15 = 34 . (Пример набора чисел: 1-й день: 1, 1, 1, 1, 1; 2-й день: 5, 5, 2, 2; 3-й день: 5, 5, 5). 4. Если n = 2 , то C_1 = 5, C_2 = 4 . Тогда S_2 5 * 4 = 20, S_1 = 5 . Итого: 5 + 20 = 25 . Наибольшая сумма равна 34. Ответ: а) Да б) Нет в) 34

а) Да б) Нет в) 34