На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений. а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз? б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз? в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Пусть в первой группе a чисел, во второй — b, в третьей — c (все >= 1). Исходная сумма чисел S, сумма чисел в третьей группе T. После преобразований новая сумма S' = 10(S-T) + 3a + 7b + T = 10S - 9T + 3a + 7b. Пусть k = S'/S. Тогда (10-k)S = 9T - 3a - 7b. а) Для k=8: 2S = 9T - 3a - 7b. Пример: a=1, b=1, c=1, числа: первая группа 2, вторая 7, третья 4. S=13, S'=23+77+4=104, k=104/13=8. б) Для k=17: -7S = 9T - 3a - 7b => 7S = 3a+7b-9T. Покажем невозможность. Подставим S=T+U (где U — сумма чисел в первых двух группах): 16T+7U = 3a+7b. Минимальное U для a+b различных натуральных чисел не меньше ((a+b)(a+b+1))/(2), а T>= 1. Тогда левая часть >= 16 + 7*((a+b)(a+b+1))/(2), правая 3a+7b растёт линейно. Уже при малых a,b неравенство не выполняется (например, a=b=1: 16+21=37 > 10). Значит, натуральных решений нет. в) Найдём максимальное k. k = 10 - 9(T/S) + (3a+7b)/S. Оптимизируем: выгодно взять c=1 (т.е. T=z — одно число) и z=1 (минимальное натурально е). Тогда S = 1 + сумма a+b наименьших различных натуральных чисел, отличных от 1, т.е. S = 1 + (2+3++(a+b+1)) = ((a+b+1)(a+b+2))/(2). Тогда k = 10 + (3a+7b-9)/(S). Перебирая небольшие a,b, находим максимум при a=1, b=4: S = ((1+4+1)(1+4+2))/(2) = 21, k = 10 + (3+28-9)/(21) = 10 + (22)/(21) = (232)/(21). При других a,b или c>1 значения k меньше. Ответ: а) Да, могла. б) Нет, не могла. в) (232)/(21).

\(\text{\text{а) } да}\) \(\text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }\dfrac{232}{21}\)