На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число.
К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?
Пусть в первой группе a чисел, во второй — b, в третьей — c (все ≥1). Исходная сумма чисел S, сумма чисел в третьей группе T. После преобразований новая сумма S′=10(S−T)+3a+7b+T=10S−9T+3a+7b. Пусть k=S′/S. Тогда (10−k)S=9T−3a−7b.
а) Для k=8: 2S=9T−3a−7b. Пример: a=1,b=1,c=1, числа: первая группа {2}, вторая {7}, третья {4}. S=13, S′=23+77+4=104, k=104/13=8.
б) Для k=17: −7S=9T−3a−7b ⇒ 7S=3a+7b−9T. Покажем невозможность. Подставим S=T+U (где U — сумма чисел в первых двух группах): 16T+7U=3a+7b. Минимальное U для a+b различных натуральных чисел не меньше 2(a+b)(a+b+1), а T≥1. Тогда левая часть ≥16+7⋅2(a+b)(a+b+1), правая 3a+7b растёт линейно. Уже при малых a,b неравенство не выполняется (например, a=b=1: 16+21=37>10). Значит, натуральных решений нет.
в) Найдём максимальное k. k=10−9(T/S)+(3a+7b)/S. Оптимизируем: выгодно взять c=1 (т.е. T=z — одно число) и z=1 (минимальное натурально
е). Тогда S=1+ сумма a+b наименьших различных натуральных чисел, отличных от 1, т.е. S=1+(2+3+⋯+(a+b+1))=2(a+b+1)(a+b+2). Тогда k=10+S3a+7b−9. Перебирая небольшие a,b, находим максимум при a=1,b=4: S=2(1+4+1)(1+4+2)=21, k=10+213+28−9=10+2122=21232. При других a,b или c>1 значения k меньше.
Ответ:
а) Да, могла.
б) Нет, не могла.
в) 21232.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ФИПИ