По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 400. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, а сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3. а) Может ли N быть равным 360? б) Может ли N быть равным 149? в) Найдите наибольшее значение N .

а) Рассмотрим остатки от деления чисел на 3: для каждого числа a_i положим r_i = a_i 3, где r_iin 0,1,2. Из условия сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 3, поэтому для любого i: r_i + r_(i+1) + r_(i+2) + r_(i+3)=== 0+- od3. Для следующей четвёрки: r_(i+1) + r_(i+2) + r_(i+3) + r_(i+4)=== 0+- od3. Вычитая, получаем r_i=== r_(i+4)+- od3, значит последовательность остатков периодична с периодом 4. Из условия сумма любых трёх идущих подряд чисел не делится на 3. Рассмотрим период из четырёх остатков: r_i, r_(i+1), r_(i+2), r_(i+3), причём r_(i+4) = r_i. Обозначим a = r_i, b = r_(i+1), c = r_(i+2), d = r_(i+3), и a = d. Условия: 1. a + b + c + d=== 0+- od3 (сумма четырёх делится на 3). 2. Суммы трёх подряд не делятся на 3: a + b + c ot=== 0, b + c + d = b + c + a ot=== 0, c + d + a = c + 2a ot=== 0, d + a + b = 2a + b ot=== 0 (все по модулю 3). Перебором возможных значений a, b, cin 0,1,2 с учётом a = d показывает, что единственно возможные наборы — это перестановки двух остатков 1 и двух остатков 2. Остаток 0 не встречается. Следовательно, все числа дают остаток 1 или 2 при делении на 3. Оценим количество различных натуральных чисел, не превосходящих 400, дающих остаток 1 или 2. Числа вида 3k+1: от 1 до 400, количество (400-1)/(3) + 1 = 133 + 1 = 134. Числа вида 3k+2: от 2 до 398, количество (398-2)/(3) + 1 = 132 + 1 = 133. Всего таких чисел 134 + 133 = 267. Для N=360 требуется 360 различных чисел, но максимально возможное количество чисел с остатком 1 или 2 равно 267, и 360 > 267. Следовательно, N не может быть равным 360. Ответ: нет. б) Из периодичности остатков с периодом 4 следует, что количество чисел N должно быть кратно 4. Число 149 не делится на 4, поэтому не может быть таким N. Ответ: нет. в) Поскольку N кратно 4 и все числа имеют остатки 1 или 2, и в каждом периоде из 4 остатков два остатка 1 и два остатка 2, то общее количество чисел с остатком 1 равно количеству чисел с остатком 2 и равно N/2. Поэтому необходимо, чтобы N/2 не превышало количества доступных чисел с остатком 1 и с остатком 2. Наибольшее количество чисел с остатком 2 равно 133, поэтому N/2<= 133, откуда N<= 266. Также N должно быть кратно 4. Наибольшее кратное 4, не превосходящее 266, это 264. Покажем, что N=264 возможно. Для N=264 нужно выбрать 132 числа с остатком 1 и 132 числа с остатком 2. Это возможно, так как имеется 134 числа с остатком 1 и 133 числа с остатком 2. Например, возьмём все числа с остатком 1, кроме 1 и 400 (исключаем два числа), и все числа с остатком 2, кроме 398 (исключаем одно число). Тогда получим 132 числа с остатком 1 (от 4 до 397 с шагом 3) и 132 числа с остатком 2 (от 2 до 395 с шагом 3). Расположим эти числа по кругу в порядке, соответствующем периодической последовательности остатков, например, повторяя блок остатков 1,2,1,2 или 1,1,2,2 и т.п., что удовлетворяет условиям на суммы. Следовательно, наибольшее возможное значение N равно 264. Ответ: 264.

\(\text{\text{а) } нет} \text{\) \(\text{б) } нет}\) \(\text{в) }264\)