Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют S — сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел A = 123 и B = 579 получается сумма S = 1* 5 + 2* 7 + 3* 9 = 46. а) Существуют ли трёхзначные числа A и B, для которых S = 200? б) Существуют ли четырёхзначные числа A и B, для которых S = 320? в) Верно ли, что любое натуральное число от 1 до 340 является суммой S для некоторых пятизначных чисел A и B?

а) Приведём пример трёхзначных чисел A и B, для которых S=200. Пусть A=977, B=998. Тогда S = 9*9 + 7*9 + 7*8 = 81+63+56=200. Следовательно, такие числа существуют. б) Найдём максимально возможное значение S для четырёхзначных чисел. Каждое слагаемое a_i b_i не превосходит 9*9=81. Поэтому максимальная сумма S_(max) = 4*81 = 324. Чтобы сумма равнялась 320, нужно уменьшить сумму на 4 по сравнению с максимумом. Рассмотрим множество возможных значений произведений цифр: D = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 24; 25; 27; 28; 30; 32; 35; 36; 40; 42; 45; 48; 49; 54; 56; 63; 64; 72; 81. Разность между наибольшим значением 81 и следующим по величине 72 равна 9. Поэтому, если заменить одно из слагаемых 81 на любое другое значение из D, сумма уменьшится не менее чем на 9. Если заменять несколько слагаемых, то общее уменьшение будет не меньше 9 (поскольку любое отличие от 81 даёт разность не менее 9). Следовательно, получить сумму 320 из максимальной 324 невозможно. Более того, перебор комбинаций с наибольшими значениями показывает, что ближайшие к 324 достижимые суммы — это 315 (например, 81+81+81+72) и 306 (например, 81+81+72+72). Число 320 между ними, поэтому оно не может быть суммой четырёх произведений цифр. Значит, таких четырёхзначных чисел не существует. в) Докажем, что для любого натурального N такого, что 1 N 340, найдутся пятизначные числа A и B такие, что S=N. Рассмотрим множество D произведений цифр. Заметим, что D содержит все целые числа от 1 до 10. Покажем конструктивно, как для любого N от 1 до 340 подобрать пять элементов из D, сумма которых равна N, причём первый элемент не меньше 1 (чтобы первые цифры чисел A и B были ненулевыми). 1. Если 1 N 10, то берём x_1 = N, x_2=x_3=x_4=x_5=0. 2. Если 11 N 20, то записываем N = 10 + (N-10). Так как N-10in [1; 10] c D, то полагаем x_1=10, x_2=N-10, x_3=x_4=x_5=0. 3. Аналогично, используя числа 20, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 54, 56, 63, 64, 72, 81 из D, можно представить любое число от 21 до 81. Например, для Nin [21; 30]: N = 20 + (N-20), где N-20in [1; 10]; для Nin [31; 36]: N = 30 + (N-30), где N-30in [1; 6], и так далее. 4. Для N > 81 представим N = 81 + M, где M = N-81. Тогда M 340-81=259. Теперь нужно представить M в виде суммы четырёх элементов из D. Заметим, что максимальная сумма четырёх элементов из D равна 324, поэтому M лежит в пределах достижимого. Поскольку D содержит все числа от 1 до 10, то, используя аналогичный приём (выбор наибольшего элемента из D, не превышающего текущий остаток), можно показать, что любое число Min [0; 259] представимо в виде суммы четырёх элементов D (при необходимости добавляя нули). Таким образом, для любого Nin [1; 340] найдётся представление N = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 с x_iin D и x_1 1. По каждому x_i можно подобрать пары цифр (a_i, b_i) такие, что a_i b_i = x_i, причём для i=1 выбираем a_1, b_1 1, чтобы числа A и B были пятизначными. Следовательно, утверждение верно. Ответ: а) существуют б) не существуют в) верно

а) да б) нет в) да